SAVOIRS
par François Lavallou
H lgèbre de Boole
Fruit d'une longue et lente algébrisation de la logique, l'algèbre
de Boole est utilisée pour la première fois hors du champ
mathématique par Shannon, père fondateur de la théorie de
l'information. Elle a depuis de nombreuses applications en
électronique et informatique.
E
1
0
+
X
c
L
es phil osophes g recs fure nt les
p'.emiers à étudie r la log iqu~, qui
rege nte, so u ve nt in co nsc ie m -
me nt , nos process us me nta ux. Dès le
s iècl e de Pé ri c lès , la struc ture idéa le
d ' un texte mathé matique est é tablie e t
la noti on de démonstration chez Eucl ide,
Archimède ou Apollo nius est totale ment
mode rn e. De ux log iques co mpl é me ntaires se dévelo ppe nt avec l'école pé ripa té ti c ie nn e d ' Ari sto te e t l 'éco le du
po rtique de Chrys ippe. S i la log ique
aristotélicie nne, ou scolastique, fut longte mps la référe nce des logic ie ns, celle
des stoïc ie ns, qui to mba pe u à pe u dans
l'oubli , peut être considé rée comme une
pre mière versio n du calcul moderne des
propos itio ns.
C lasses (a , [3 , y, ... )
Propositions (p , q , r ... . )
Un ivers ( 1)
Ta uto logie (V)
Vide ÇO)
Cont rad icti o n (F)
Uni o n ( U)
Disjoncti on (y )
Intersectio n ( n )
Conjonction(/\)
Conp lément (- )
Négati o n (~)
Inclus ion de c lasse (C )
Imp licatio n matérie lle (:l)
Iden tité en tre classe(=)
Equiva lence matérielle( = )
Interprétations de l'algèbre de Boole
Des péripatéticiens à Boole
En q uête d' un la ngage uni verse l commun à la log iq ue e t à l' algèbre, Le ibni z
reche rc he, sa ns succès, un « alphabet
des pe nsées hum aines » q ui pe rmette
de tra nscrire sy mbo liq ue me nt tout ra isonne me nt déductif e n algorith me. Gergonne tente bien d ' uti liser la combinatoire
pour retrouver la syllogistique des anciens
m a is, fo nda me nta le me nt , la logi qu e
reste to ujours une bra nche de la philoso phi e n 'a ppa rte na nt pas a u co rpu s
mathé matique.
C'est à George Boo le (18 15- 1864), un
mathé matic ie n autod idacte, q ue rev ie nt
le mé rite d 'affirme r que la log iq ue doit
être rattac hée aux mathé mati q ues et no n
à la phil oso phi e . Il ré unit les log iques
a ri s to té li c ie nn e e t stoï c ie nn e e n un
uni q ue systè me a lgé bri q ue , mais qu i
im pose de c ho is ir e ntre une in terp rétati o n e nse mb li ste o u propos itio nn e l le
(voir tabl eau). Malgré ses défa uts, cette
mathémati sati o n de la log iq ue est une
révo luti o n , p lu s q u ' un e évo lu tio n , et
a ura des réperc uss io ns sur les fo ndements mê me des mathématiq ues.
Tangente Hors-série n°52. Mathématiques & informatique
par François Lavallou
H lgèbre de Boole
Fruit d'une longue et lente algébrisation de la logique, l'algèbre
de Boole est utilisée pour la première fois hors du champ
mathématique par Shannon, père fondateur de la théorie de
l'information. Elle a depuis de nombreuses applications en
électronique et informatique.
E
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L
es phil osophes g recs fure nt les
p'.emiers à étudie r la log iqu~, qui
rege nte, so u ve nt in co nsc ie m -
me nt , nos process us me nta ux. Dès le
s iècl e de Pé ri c lès , la struc ture idéa le
d ' un texte mathé matique est é tablie e t
la noti on de démonstration chez Eucl ide,
Archimède ou Apollo nius est totale ment
mode rn e. De ux log iques co mpl é me ntaires se dévelo ppe nt avec l'école pé ripa té ti c ie nn e d ' Ari sto te e t l 'éco le du
po rtique de Chrys ippe. S i la log ique
aristotélicie nne, ou scolastique, fut longte mps la référe nce des logic ie ns, celle
des stoïc ie ns, qui to mba pe u à pe u dans
l'oubli , peut être considé rée comme une
pre mière versio n du calcul moderne des
propos itio ns.
C lasses (a , [3 , y, ... )
Propositions (p , q , r ... . )
Un ivers ( 1)
Ta uto logie (V)
Vide ÇO)
Cont rad icti o n (F)
Uni o n ( U)
Disjoncti on (y )
Intersectio n ( n )
Conjonction(/\)
Conp lément (- )
Négati o n (~)
Inclus ion de c lasse (C )
Imp licatio n matérie lle (:l)
Iden tité en tre classe(=)
Equiva lence matérielle( = )
Interprétations de l'algèbre de Boole
Des péripatéticiens à Boole
En q uête d' un la ngage uni verse l commun à la log iq ue e t à l' algèbre, Le ibni z
reche rc he, sa ns succès, un « alphabet
des pe nsées hum aines » q ui pe rmette
de tra nscrire sy mbo liq ue me nt tout ra isonne me nt déductif e n algorith me. Gergonne tente bien d ' uti liser la combinatoire
pour retrouver la syllogistique des anciens
m a is, fo nda me nta le me nt , la logi qu e
reste to ujours une bra nche de la philoso phi e n 'a ppa rte na nt pas a u co rpu s
mathé matique.
C'est à George Boo le (18 15- 1864), un
mathé matic ie n autod idacte, q ue rev ie nt
le mé rite d 'affirme r que la log iq ue doit
être rattac hée aux mathé mati q ues et no n
à la phil oso phi e . Il ré unit les log iques
a ri s to té li c ie nn e e t stoï c ie nn e e n un
uni q ue systè me a lgé bri q ue , mais qu i
im pose de c ho is ir e ntre une in terp rétati o n e nse mb li ste o u propos itio nn e l le
(voir tabl eau). Malgré ses défa uts, cette
mathémati sati o n de la log iq ue est une
révo luti o n , p lu s q u ' un e évo lu tio n , et
a ura des réperc uss io ns sur les fo ndements mê me des mathématiq ues.
Tangente Hors-série n°52. Mathématiques & informatique