Le traitement du signal
les espaces vectoriels, l 'a lgèbre linéaire,
les distributions , l 'analyse fonctionnelle,
les probabilités , les stati stiques, l 'opti -
mi sation , l ' analyse numérique ... D ' un
point de vue méthodologique, deux directions de rec herche sont utili sées pour
l 'é tude des probl èmes inverses . U ne
voie, très en vogue, utilise les méthodes
probabili stes qu i incorporent des informations a priori sur la so lution (c'est
toujours plus fac ile quand on connaît la
solution !).
L'autre vo ie date des années 1960 avec
les travaux de Tikhono v ( 1906- 1993)
en physique mathématique, qui traite,
en dimension infini e, des probl èmes
d 'existence , d ' unicité et de stabilité. L a
réso luti on numérique s'e ffectue alors
par proj ecti on sur des espaces de dimension fini e.
Andreï Nikolaïevitch Tikhonov.
Résoudre un probl ème inverse rev ient
à déterminer un obj et x dont l ' im age
H (x) par le système de détecti on est « la
plu s proche poss ibl e» de la mesure y.
Cette notion de di stance entre éléments
de Hilbert a un sens grâce à la nonne associée au produit sca laire, analogue de la
di stance euclidienne en géométrie classiqu e . D 'où la cé lèbre méthode des
moindres carrés, qui consiste à chercher une solution x, possédant les caractéri stiques attendues de l 'obj et, qui minimi se la qu antité Q(x) = JJ y- H(x) JJ
2 . La
so luti on , identique à l ' in verse gé néraI isée , est x = (1 HH r1 ' Hy, où 'H est la
m atri ce transposée de H . Bi en sûr,
x = W
1
y si la matri ce H est carrée et
in versibl e.
Dans le cas d ' un système linéai re de
matri ce mal conditi onnée, la régul ari -
sa ti on de Tikhonov incorpore de plus
dans le critère de minimi sation des conditi ons sur la soluti on. Son principe est
de minimiser une quantité qui dépend de
deux termes et d'un para mètre :
Q(x) = D(y - H(x)) + aS(x).
Comme pour la méthode des mo indres
carrés, le premier tenne est fidèle aux données et s'annule si H(x) = y. Le second
terme tient compte de conditions a priori
sur la so luti on et se doit d 'être « petit »
quand elles sont rempli es.
Le po ids des données (a= 0) ou de l' a
priori (a=+ oo) sur la so luti on dépend
de la va leur du paramètre a. Pour une
va leur du paramètre fixée, on cherche la
so luti on x qui minimi se Q (x). Class iquement, Q(x) = Il Y - HX 11
2 + a JJ CX 11
2
et la so luti on généra li sée est
X= ('HH + a 'cet ' Hy . On retrouve
bien sûr la so lution des moindres carrés
pour a= O. Tout dépend donc du choix
de l 'opérateur de rég ul ari sa ti on. Pour
l ' identité C = 1, les soluti ons de norm es
fa ibl es sont favori sées, et on év itera les
grandes flu ctu ati ons dues à des va leurs
propres faibles. De fa it , les va leurs
propres À ont été tran slatées et changées
en À + a, ce qui régul ari se la solution en
atténu ant l 'amplifi cati on À1 due aux
fa ibl es va leurs propres. Le conditi onnement est amélioré car
À"'"" + a < À,,.., pour a> O.
À rnin + a À min
On a effectu é un .fïltrage, c'est-à-d ire
une légè re manipul ati on des va leurs
propres.
Tc:ingent:e Hors-série n°52. Mathématiques & informatique
les espaces vectoriels, l 'a lgèbre linéaire,
les distributions , l 'analyse fonctionnelle,
les probabilités , les stati stiques, l 'opti -
mi sation , l ' analyse numérique ... D ' un
point de vue méthodologique, deux directions de rec herche sont utili sées pour
l 'é tude des probl èmes inverses . U ne
voie, très en vogue, utilise les méthodes
probabili stes qu i incorporent des informations a priori sur la so lution (c'est
toujours plus fac ile quand on connaît la
solution !).
L'autre vo ie date des années 1960 avec
les travaux de Tikhono v ( 1906- 1993)
en physique mathématique, qui traite,
en dimension infini e, des probl èmes
d 'existence , d ' unicité et de stabilité. L a
réso luti on numérique s'e ffectue alors
par proj ecti on sur des espaces de dimension fini e.
Andreï Nikolaïevitch Tikhonov.
Résoudre un probl ème inverse rev ient
à déterminer un obj et x dont l ' im age
H (x) par le système de détecti on est « la
plu s proche poss ibl e» de la mesure y.
Cette notion de di stance entre éléments
de Hilbert a un sens grâce à la nonne associée au produit sca laire, analogue de la
di stance euclidienne en géométrie classiqu e . D 'où la cé lèbre méthode des
moindres carrés, qui consiste à chercher une solution x, possédant les caractéri stiques attendues de l 'obj et, qui minimi se la qu antité Q(x) = JJ y- H(x) JJ
2 . La
so luti on , identique à l ' in verse gé néraI isée , est x = (1 HH r1 ' Hy, où 'H est la
m atri ce transposée de H . Bi en sûr,
x = W
1
y si la matri ce H est carrée et
in versibl e.
Dans le cas d ' un système linéai re de
matri ce mal conditi onnée, la régul ari -
sa ti on de Tikhonov incorpore de plus
dans le critère de minimi sation des conditi ons sur la soluti on. Son principe est
de minimiser une quantité qui dépend de
deux termes et d'un para mètre :
Q(x) = D(y - H(x)) + aS(x).
Comme pour la méthode des mo indres
carrés, le premier tenne est fidèle aux données et s'annule si H(x) = y. Le second
terme tient compte de conditions a priori
sur la so luti on et se doit d 'être « petit »
quand elles sont rempli es.
Le po ids des données (a= 0) ou de l' a
priori (a=+ oo) sur la so luti on dépend
de la va leur du paramètre a. Pour une
va leur du paramètre fixée, on cherche la
so luti on x qui minimi se Q (x). Class iquement, Q(x) = Il Y - HX 11
2 + a JJ CX 11
2
et la so luti on généra li sée est
X= ('HH + a 'cet ' Hy . On retrouve
bien sûr la so lution des moindres carrés
pour a= O. Tout dépend donc du choix
de l 'opérateur de rég ul ari sa ti on. Pour
l ' identité C = 1, les soluti ons de norm es
fa ibl es sont favori sées, et on év itera les
grandes flu ctu ati ons dues à des va leurs
propres faibles. De fa it , les va leurs
propres À ont été tran slatées et changées
en À + a, ce qui régul ari se la solution en
atténu ant l 'amplifi cati on À1 due aux
fa ibl es va leurs propres. Le conditi onnement est amélioré car
À"'"" + a < À,,.., pour a> O.
À rnin + a À min
On a effectu é un .fïltrage, c'est-à-d ire
une légè re manipul ati on des va leurs
propres.
Tc:ingent:e Hors-série n°52. Mathématiques & informatique