En prenant pour C l 'opérateur de déri -
vation, on favori se les solutions qui n'ont
pas de vari ati ons bru sques, qu and on
sait par exemple que la soluti on doit être
réguli ère .
Ce prin c ipe de rég ul ari sa ti on (o n en
in vente chaque j our, pour chaque problème traité) illustre la créati vité dont on
doit fa ire preuve en tra itement du signal
pour incorporer une idée de la soluti on,
plus ou moin s contra ignante, se lon les
conditions ex périmentales, clans le processus de ca lcul. Ce côté ex périmental
de la recherche d' une so lution optimale,
jamais exac te, ne po urrait , bi en sûr,
jamais se fa ire sa ns l 'apport de la pui ssance in form atique. L a concepti on et
l 'é tu de de nouvea ux moye ns de d iagnostic fai t appel aux mathématiques, mais
la mi se en œuvre opérationnelle néce -
site l ' inform atique.
Le traitement du signal étant une di sc ipline ex trêmement vas te, o n ne peut
qu'effl eurer ici quelques principes généraux, sans entrer dans le vif des méthodes
de traitement. Ce monde, à la routine
absente, fa it le bonheur des ingéni eurschercheurs et est une bell e éco le d ' hu -
mili té. Quel trava il il reste à accomplir
quand on voit , dans les séries télév isées,
qu'en mo in s de temps qu ' il n'en fa ut
po ur appuyer sur une touche, on ex tra it
d'un unique pi xel un visage!
F.L.
Ll', illu,tr:Hmn:,, on\ !.' . té réaJi..,,fr:- par Pierre R;.1yhaut.
Rérérences
• Les 111a1rices. Bibliothèque Ta nge nte 44.20 12.
• Le cairn/ i111égra/. Bibl iot hèque Tange nte 50 .
2014.
• Les angles. Hors-série 53 de Ta11ge111e, 20 14.
CHANGER LE MONDE
le Bien selon Hadamard
Soit y l'image d'un objet inconnu x par une mesure dont l'action est représentée par l'opérateur linéaire H. Le problème
inverse est donc de résoudre l'équation matricielle Y= HX.
Deux ensembles sont caractéristiques d'un opérateur H :
son noyau Ker(H), ensemble des vecteurs d'image nulle, et
son image Im(H), ensemble des images pour l'ensemble
des objets possibles.
La première chose à faire est de s'assurer qu'il n'y a pas
d'ambiguïté pour l'image réciproque, c'est-à-dire qu'une
image a un seul antécédent. Si deux objets X 1 et X 2 donnent
la même image (Y = H X, = H X 2
), alors ils doivent être
égaux (X, = ~). Puisque l'opérateur est linéaire, on doit avoir
H (X 1
- X 2
) = o =} ( ~ - X 2
) = o.
Le noyau de l'opérateur H se trouve réduit au strict minimum, le vecteur nul : l'application H est injective. La solution est unique, si elle existe !
Le deuxième critère est d'assurer l'existence. L'image doit
pouvoir être celle d'un objet possible : y E Im(H).
À ces deux conditions d'unicité et d'existence, qui garantisse une bijection entre l'ensemble des objets et celui des
images, Hadamard ajoute, comme critère suffisant pour
l'inversion d'un opérateur, une condition de continuité
nécessaire pour les problèmes bruités de la physique.
Quand ces trois conditions sont remplies, on parle de problème bien posé au sens de Hadamard. Dans ce cas, il
existe en général un algorithme stable permettant de
construire une solution approchée de la solution exacte.
Très souvent, un problème direct est bien posé et un problème inverse est mal posé (c'est-à-dire « non bien posé »).
Hors-série n° 52. Mathématiques & informatique Tangente
vation, on favori se les solutions qui n'ont
pas de vari ati ons bru sques, qu and on
sait par exemple que la soluti on doit être
réguli ère .
Ce prin c ipe de rég ul ari sa ti on (o n en
in vente chaque j our, pour chaque problème traité) illustre la créati vité dont on
doit fa ire preuve en tra itement du signal
pour incorporer une idée de la soluti on,
plus ou moin s contra ignante, se lon les
conditions ex périmentales, clans le processus de ca lcul. Ce côté ex périmental
de la recherche d' une so lution optimale,
jamais exac te, ne po urrait , bi en sûr,
jamais se fa ire sa ns l 'apport de la pui ssance in form atique. L a concepti on et
l 'é tu de de nouvea ux moye ns de d iagnostic fai t appel aux mathématiques, mais
la mi se en œuvre opérationnelle néce -
site l ' inform atique.
Le traitement du signal étant une di sc ipline ex trêmement vas te, o n ne peut
qu'effl eurer ici quelques principes généraux, sans entrer dans le vif des méthodes
de traitement. Ce monde, à la routine
absente, fa it le bonheur des ingéni eurschercheurs et est une bell e éco le d ' hu -
mili té. Quel trava il il reste à accomplir
quand on voit , dans les séries télév isées,
qu'en mo in s de temps qu ' il n'en fa ut
po ur appuyer sur une touche, on ex tra it
d'un unique pi xel un visage!
F.L.
Ll', illu,tr:Hmn:,, on\ !.' . té réaJi..,,fr:- par Pierre R;.1yhaut.
Rérérences
• Les 111a1rices. Bibliothèque Ta nge nte 44.20 12.
• Le cairn/ i111égra/. Bibl iot hèque Tange nte 50 .
2014.
• Les angles. Hors-série 53 de Ta11ge111e, 20 14.
CHANGER LE MONDE
le Bien selon Hadamard
Soit y l'image d'un objet inconnu x par une mesure dont l'action est représentée par l'opérateur linéaire H. Le problème
inverse est donc de résoudre l'équation matricielle Y= HX.
Deux ensembles sont caractéristiques d'un opérateur H :
son noyau Ker(H), ensemble des vecteurs d'image nulle, et
son image Im(H), ensemble des images pour l'ensemble
des objets possibles.
La première chose à faire est de s'assurer qu'il n'y a pas
d'ambiguïté pour l'image réciproque, c'est-à-dire qu'une
image a un seul antécédent. Si deux objets X 1 et X 2 donnent
la même image (Y = H X, = H X 2
), alors ils doivent être
égaux (X, = ~). Puisque l'opérateur est linéaire, on doit avoir
H (X 1
- X 2
) = o =} ( ~ - X 2
) = o.
Le noyau de l'opérateur H se trouve réduit au strict minimum, le vecteur nul : l'application H est injective. La solution est unique, si elle existe !
Le deuxième critère est d'assurer l'existence. L'image doit
pouvoir être celle d'un objet possible : y E Im(H).
À ces deux conditions d'unicité et d'existence, qui garantisse une bijection entre l'ensemble des objets et celui des
images, Hadamard ajoute, comme critère suffisant pour
l'inversion d'un opérateur, une condition de continuité
nécessaire pour les problèmes bruités de la physique.
Quand ces trois conditions sont remplies, on parle de problème bien posé au sens de Hadamard. Dans ce cas, il
existe en général un algorithme stable permettant de
construire une solution approchée de la solution exacte.
Très souvent, un problème direct est bien posé et un problème inverse est mal posé (c'est-à-dire « non bien posé »).
Hors-série n° 52. Mathématiques & informatique Tangente