ACTIONS
Le traitement du signal
Le problème se trou ve ainsi mathématisé, et son étude est ramenée à celle des
matrices d'opérateur, dont le cadre mathématique est ce lui des es paces de Hil -
be rt . C es es pa ces d e fo ncti o n s,
générali sati ons des espaces euclidiens,
so nt muni s d ' un produit sca la ire. On
peut alors parler d 'orthogonalité de fo ncti o ns e t définir des projecti o ns. Cec i
explique que l'intuition géométrique est
un mote ur pui ssant de la créati vité en
tra ite ment du signal, les théorèmes y
étant analogues à ceux de la géométrie
cl assique. Un é lé ment d ' un espace de
Hilbert, une fonction ( 1 D) ou une image
(2D), est défini de mani ère unique par
D'Euclide à Hilbert
La notion d'espace de Hilbert, ou hilbertien, généralise
celle d 'espace euclidien, lente mathématisation de notre
environnement. David Hilbert a prolongé les méthodes
mathématiques des espaces euclidiens de dimensions inférieures ou égales à trois à des espaces de dimension quelconque, voire infinie (mais dénombrable).
En 1926, John von Neumann développe cette idée en considérant qu'un système quantique constitué de N particules,
chacune déterminée par six paramètres (trois de position
et trois de vitesse), est un point d 'un espace de Hilbert de
dimension 6N. Il axiomatise la mécanique quantique, associe aux grandeurs physiques traditionnelles des opérateurs linéaires et leurs applique les techniques de l'analyse
mathématique.
Les espaces hilbertiens apparaissent fréquemment en physique, et sont incontournables en traitement du signal.
Puisque les phénomènes physiques étudiés sont d'énergie
finie, et que l'énergie est proportionnelle au carré d'une
grandeur Oa vitesse pour un mouvement, Ec = mv
2
/ 2 ; la
position pour l'énergie potentielle d'un ressort, EP = kx2 / 2 ;
le champ électrique E ou magnétique B pour les phénomènes électromagnétiques, Eem = E 0 E
2
/ 2 + B
2
/ 2µ 0 ; l'intensité I ou la tension U en électricité, E = RI2 = U
2
/ R,
etc.), la plupart des grandeurs physiques sont de carrés
intégrables. Ceci explique que les exemples les plus courants
d'espace de Hilbert en physique sont les espaces de fonctions de carré intégrable !
ses coordonnées dans une base, que nous
supposerons orthogonale. Un espace de
Hilbe rt pe ut alo rs être vu co mme un
ensemble de suites infinies , mais de carrés so mm ables, pui sque les fo ncti ons
qu 'elles représentent sont d 'énergie fi nie
(vo ir encadré). A insi, l'approx imation
d' une courbe par un po lynôme de deg ré
n est un pro blè me d 'optimi satio n qui
consiste à rechercher la projecti on d' un
objet de dimension infinie dans un espace
de dimension n + 1.
Dans la plupart des cas conc rets , les
opérateurs linéa ires d ' un espace de Hil -
bert sont des transformations qui peuvent
être décomposées en so mme d ' homothéties de ra pports (valeur pro pres) et
de directio ns (vecteurs propres) di ffére nts. L'ensembl e des va leurs et vecteurs propres résume toutes les propriétés
de l'opérateur et est appelé son spectre.
La théorie spectrale est au cœur du traitement du signal.
Un changement de base dans un espace
vecto ri e l pe ut simplifi er les coo rdonnées d ' un vec te ur. li en est de même
po ur la stru cture d ' un e matrice ! Par
un c hange me nt de base de vec te urs
pro pres o rth ogo naux, la plupart des
matrices peuve nt s'écri re sous la fo rme
di agona le H,,,, =
À. 1 Ü
Ü
O Ài
O
0 0 0
0
À,,
où les (À.;)i=l l ... 11 sont les valeurs propres.
To ute la pro bl é matique d u tra iteme nt
du signa l est rés umée dans cette représentati o n .
On di stin g ue les prob lèmes d irects,
lorsque l'objet x et l'opérateur H sont
connu s, et les problèmes inverses, pour
lesquels seul l'objet x est inconnu .
Les mesures de te mpérature, press ion,
hygrométrie et plu vio métrie recueillies
par une station météorolog ique sont porteuses d ' info rmations qui vont permettre ,
i134 Tangente Hors-série n°52. Mathématiques & informatique
Le traitement du signal
Le problème se trou ve ainsi mathématisé, et son étude est ramenée à celle des
matrices d'opérateur, dont le cadre mathématique est ce lui des es paces de Hil -
be rt . C es es pa ces d e fo ncti o n s,
générali sati ons des espaces euclidiens,
so nt muni s d ' un produit sca la ire. On
peut alors parler d 'orthogonalité de fo ncti o ns e t définir des projecti o ns. Cec i
explique que l'intuition géométrique est
un mote ur pui ssant de la créati vité en
tra ite ment du signal, les théorèmes y
étant analogues à ceux de la géométrie
cl assique. Un é lé ment d ' un espace de
Hilbert, une fonction ( 1 D) ou une image
(2D), est défini de mani ère unique par
D'Euclide à Hilbert
La notion d'espace de Hilbert, ou hilbertien, généralise
celle d 'espace euclidien, lente mathématisation de notre
environnement. David Hilbert a prolongé les méthodes
mathématiques des espaces euclidiens de dimensions inférieures ou égales à trois à des espaces de dimension quelconque, voire infinie (mais dénombrable).
En 1926, John von Neumann développe cette idée en considérant qu'un système quantique constitué de N particules,
chacune déterminée par six paramètres (trois de position
et trois de vitesse), est un point d 'un espace de Hilbert de
dimension 6N. Il axiomatise la mécanique quantique, associe aux grandeurs physiques traditionnelles des opérateurs linéaires et leurs applique les techniques de l'analyse
mathématique.
Les espaces hilbertiens apparaissent fréquemment en physique, et sont incontournables en traitement du signal.
Puisque les phénomènes physiques étudiés sont d'énergie
finie, et que l'énergie est proportionnelle au carré d'une
grandeur Oa vitesse pour un mouvement, Ec = mv
2
/ 2 ; la
position pour l'énergie potentielle d'un ressort, EP = kx2 / 2 ;
le champ électrique E ou magnétique B pour les phénomènes électromagnétiques, Eem = E 0 E
2
/ 2 + B
2
/ 2µ 0 ; l'intensité I ou la tension U en électricité, E = RI2 = U
2
/ R,
etc.), la plupart des grandeurs physiques sont de carrés
intégrables. Ceci explique que les exemples les plus courants
d'espace de Hilbert en physique sont les espaces de fonctions de carré intégrable !
ses coordonnées dans une base, que nous
supposerons orthogonale. Un espace de
Hilbe rt pe ut alo rs être vu co mme un
ensemble de suites infinies , mais de carrés so mm ables, pui sque les fo ncti ons
qu 'elles représentent sont d 'énergie fi nie
(vo ir encadré). A insi, l'approx imation
d' une courbe par un po lynôme de deg ré
n est un pro blè me d 'optimi satio n qui
consiste à rechercher la projecti on d' un
objet de dimension infinie dans un espace
de dimension n + 1.
Dans la plupart des cas conc rets , les
opérateurs linéa ires d ' un espace de Hil -
bert sont des transformations qui peuvent
être décomposées en so mme d ' homothéties de ra pports (valeur pro pres) et
de directio ns (vecteurs propres) di ffére nts. L'ensembl e des va leurs et vecteurs propres résume toutes les propriétés
de l'opérateur et est appelé son spectre.
La théorie spectrale est au cœur du traitement du signal.
Un changement de base dans un espace
vecto ri e l pe ut simplifi er les coo rdonnées d ' un vec te ur. li en est de même
po ur la stru cture d ' un e matrice ! Par
un c hange me nt de base de vec te urs
pro pres o rth ogo naux, la plupart des
matrices peuve nt s'écri re sous la fo rme
di agona le H,,,, =
À. 1 Ü
Ü
O Ài
O
0 0 0
0
À,,
où les (À.;)i=l l ... 11 sont les valeurs propres.
To ute la pro bl é matique d u tra iteme nt
du signa l est rés umée dans cette représentati o n .
On di stin g ue les prob lèmes d irects,
lorsque l'objet x et l'opérateur H sont
connu s, et les problèmes inverses, pour
lesquels seul l'objet x est inconnu .
Les mesures de te mpérature, press ion,
hygrométrie et plu vio métrie recueillies
par une station météorolog ique sont porteuses d ' info rmations qui vont permettre ,
i134 Tangente Hors-série n°52. Mathématiques & informatique