l'exemple de domai nes physiques tels que
! 'é lectromag néti sme (o ptiqu e, radar,
rad ioastro nomi e, laser), les co ntrôles
non destructi fs , la spectroscopie, et ! ' imagerie en général pour lesquels se pose le
prob lème de déterminer la di stribution
spatiale d'un objet à partir d' un ensemble
de mesures , que nous appellerons génériquement images. Notons x l ' obj et, y
l ' image obtenue par la mes ure et H la
transformati on représe ntati ve du système de détecti on. H est souvent appelée un opérateur (vo ir en encadré). Ces
tro is grandeurs sont liées par la relation
y= H(x), pour une ex périmentati on non
bruitée, donc utopique. On ne considèrera que le cas très courant d ' une transfo1 111ation H linéaire: le ni veau de l' image
est proporti onnel à ce lui de l ' objet et
l ' im age d ' un e so mm e d 'obj et es t la
so mmes des images de chaq ue objet.
On note alors Y = H .X , où X et Y sont
les matrices co lonnes de l 'objet et de
l 'image avec un e dimension éga le à
! 'échantill onn age (le nombre de po ints
de mesures) . On n'enlève rien à la généCHANGER LE MONDE
les opérateurs usuels
Les plus simples et usuels des opér ateurs utilisés en
traitement du signal sont les suivants :
•translation: Cl>,[/ ) (x) = f(x + t),
• taux d ' accroissement: A, [/ ] (x) = f(x)- f(xo),
'
X-X 0
• différentiel (ou dérivée) : D[/ ] (x) = f'(x) .
L' in tégration , opérateur in ver se de D, permet de
construire de nombreux autres opérateurs, et en particulier l'importante famille des opérateurs à noyaux,
de la fo rme H[/ ] (x) = f K(x,y)f(y}dy.
Deux exemples courants sont :
• la convolution : Hg[! ](x) = f f(u)g(x -u}du.
,
.
[ ]
- uf(u)du
• l'operateur tomograph1que : A J (x) = 2 r ~ -
J,
11 2 - x2
ra lité du problème en supposant objet
et im age éc hantillonnés de la même
façon , de sorte que les matrices X et Y
contiennent le même nombre de va leurs
et donc que la matrice H associée à l'opérateur H so it carrée.
Hors-série n° 52. Mathématiques & informatique Tangente
! 'é lectromag néti sme (o ptiqu e, radar,
rad ioastro nomi e, laser), les co ntrôles
non destructi fs , la spectroscopie, et ! ' imagerie en général pour lesquels se pose le
prob lème de déterminer la di stribution
spatiale d'un objet à partir d' un ensemble
de mesures , que nous appellerons génériquement images. Notons x l ' obj et, y
l ' image obtenue par la mes ure et H la
transformati on représe ntati ve du système de détecti on. H est souvent appelée un opérateur (vo ir en encadré). Ces
tro is grandeurs sont liées par la relation
y= H(x), pour une ex périmentati on non
bruitée, donc utopique. On ne considèrera que le cas très courant d ' une transfo1 111ation H linéaire: le ni veau de l' image
est proporti onnel à ce lui de l ' objet et
l ' im age d ' un e so mm e d 'obj et es t la
so mmes des images de chaq ue objet.
On note alors Y = H .X , où X et Y sont
les matrices co lonnes de l 'objet et de
l 'image avec un e dimension éga le à
! 'échantill onn age (le nombre de po ints
de mesures) . On n'enlève rien à la généCHANGER LE MONDE
les opérateurs usuels
Les plus simples et usuels des opér ateurs utilisés en
traitement du signal sont les suivants :
•translation: Cl>,[/ ) (x) = f(x + t),
• taux d ' accroissement: A, [/ ] (x) = f(x)- f(xo),
'
X-X 0
• différentiel (ou dérivée) : D[/ ] (x) = f'(x) .
L' in tégration , opérateur in ver se de D, permet de
construire de nombreux autres opérateurs, et en particulier l'importante famille des opérateurs à noyaux,
de la fo rme H[/ ] (x) = f K(x,y)f(y}dy.
Deux exemples courants sont :
• la convolution : Hg[! ](x) = f f(u)g(x -u}du.
,
.
[ ]
- uf(u)du
• l'operateur tomograph1que : A J (x) = 2 r ~ -
J,
11 2 - x2
ra lité du problème en supposant objet
et im age éc hantillonnés de la même
façon , de sorte que les matrices X et Y
contiennent le même nombre de va leurs
et donc que la matrice H associée à l'opérateur H so it carrée.
Hors-série n° 52. Mathématiques & informatique Tangente