Un do,wt et un bretzel
diflêrent par le goût
mais aussi par la topologie.
En modéli sation 30 , qu ' il s'ag isse de
représenter un bâtiment ou bien des
couches géo log iques, il est primordial
de connaître la topolog ie de ! 'agencement des vo lumes qui constituent de
telles scènes. Quelle pièce dans un bâti -
men t est voisine de que lle autre? Quels
blocs du sous-so l proviennent d ' une
même couche géo logique initiale ?
Attention cependant , la to po log ie ,
seule, ne pe ut ré pondre à toutes les
questions. Un donut et une tasse
avec une anse n'ont pas grand chose
en com mun si ce n'est qu ' il s sont
topologiquement parfaitement équi vale nts' Et lorsqu ' un architecte modé li se
la topologie d ' une tour par exemple,
c 'est bien le plongement géométrique
(e ntre autres) quïl va lui associer
qui déterminera si e ll e finira penchée
co mme la tour de Pi se.
Il est donc toujours nécessa ire de combiner l' utilisation de la topo logie avec
celle d ' informati ons d ' autres natures :
géo mét riqu es ,
co lo rim é triqu es,
mécaniques , sé mantiques.. . Et bi e n
so uve nt , l' ex perti se hum a ine reste
indi spensab le pour obte nir le résultat
souhaité.
S.A.
CHANGER LE MONDE
Topologie, image et paradoxe
Définir une topologie sur une image captée n'est pas
si facile. Prenons un cas simple, une image 20 en noir
et blanc. Les pixels blancs correspondent au fond de
l'image, les pixels noirs aux objets présents. Plutôt que
de tenter de définir in extenso une topologie sur une
image, on peut essayer d'introduire des notions topologiques adaptée aux images. Par exemple, comment
sait-on qu'un amas de pixels appartient à un même
objet? Probablement parce qu'ils sont « collés » les uns
aux autres. autrement dit quïls constituent une composante connexe. Comment peut-on définir une connexité
sur une grille ? Assez naturellement, en passant par la
notion d'adjacence. Deux pixels noirs appartiennent au
même objet sïls sont voisins (adjacents) ou s'il existe
entre eux un chemin composé de pixels noirs deux à
deux adjacents. Ici, la connexité ressemble fort à une
connexité par arc.
Mais qu'appelle-t-on des pixels « voisins »? Ceux qui
se rencontrent sur une arête ? Ou bien sur au moins un
sommet? Chaque pixel a-t-il quatre ou huit voisins? En
fait, pourquoi choisir? On peut définir les notions de 4et de 8-adjacence qui, par extension, donnent naissance
à la 4- et à la 8-connexité.
Une autre propriété topologique importante est celle de
Jordan- Brouwer : une courbe fermée se doit de séparer
l'espace en deux. Avec la notion d'adjacence, on peut
définir une courbe comme un ensemble de pixels deux
à deux adjacents. Une courbe sera ainsi 8-connexe si les
pixels qui la composent sont 8-adjacents.
On arrive au paradoxe. Sur la figure. l'ensemble des
pixels noirs forme une courbe 8-connexe. Sépare-t-elle
bien l'espace en deux composantes 8-connexes distinctes ? Non ! Essayons avec la 4-connexité. Observons
les pixels blancs : ils forment bien deux composantes
4-connexes distinctes. mais la
courbe qui les sépare n'est pas
4-connexe. Comment contourner ou lever ce paradoxe ?
-,,.,,,,.-.
-,.,,;,,.,,,,,
.
.
Hors-série n°52. Mathématiques & informatique Tangente
diflêrent par le goût
mais aussi par la topologie.
En modéli sation 30 , qu ' il s'ag isse de
représenter un bâtiment ou bien des
couches géo log iques, il est primordial
de connaître la topolog ie de ! 'agencement des vo lumes qui constituent de
telles scènes. Quelle pièce dans un bâti -
men t est voisine de que lle autre? Quels
blocs du sous-so l proviennent d ' une
même couche géo logique initiale ?
Attention cependant , la to po log ie ,
seule, ne pe ut ré pondre à toutes les
questions. Un donut et une tasse
avec une anse n'ont pas grand chose
en com mun si ce n'est qu ' il s sont
topologiquement parfaitement équi vale nts' Et lorsqu ' un architecte modé li se
la topologie d ' une tour par exemple,
c 'est bien le plongement géométrique
(e ntre autres) quïl va lui associer
qui déterminera si e ll e finira penchée
co mme la tour de Pi se.
Il est donc toujours nécessa ire de combiner l' utilisation de la topo logie avec
celle d ' informati ons d ' autres natures :
géo mét riqu es ,
co lo rim é triqu es,
mécaniques , sé mantiques.. . Et bi e n
so uve nt , l' ex perti se hum a ine reste
indi spensab le pour obte nir le résultat
souhaité.
S.A.
CHANGER LE MONDE
Topologie, image et paradoxe
Définir une topologie sur une image captée n'est pas
si facile. Prenons un cas simple, une image 20 en noir
et blanc. Les pixels blancs correspondent au fond de
l'image, les pixels noirs aux objets présents. Plutôt que
de tenter de définir in extenso une topologie sur une
image, on peut essayer d'introduire des notions topologiques adaptée aux images. Par exemple, comment
sait-on qu'un amas de pixels appartient à un même
objet? Probablement parce qu'ils sont « collés » les uns
aux autres. autrement dit quïls constituent une composante connexe. Comment peut-on définir une connexité
sur une grille ? Assez naturellement, en passant par la
notion d'adjacence. Deux pixels noirs appartiennent au
même objet sïls sont voisins (adjacents) ou s'il existe
entre eux un chemin composé de pixels noirs deux à
deux adjacents. Ici, la connexité ressemble fort à une
connexité par arc.
Mais qu'appelle-t-on des pixels « voisins »? Ceux qui
se rencontrent sur une arête ? Ou bien sur au moins un
sommet? Chaque pixel a-t-il quatre ou huit voisins? En
fait, pourquoi choisir? On peut définir les notions de 4et de 8-adjacence qui, par extension, donnent naissance
à la 4- et à la 8-connexité.
Une autre propriété topologique importante est celle de
Jordan- Brouwer : une courbe fermée se doit de séparer
l'espace en deux. Avec la notion d'adjacence, on peut
définir une courbe comme un ensemble de pixels deux
à deux adjacents. Une courbe sera ainsi 8-connexe si les
pixels qui la composent sont 8-adjacents.
On arrive au paradoxe. Sur la figure. l'ensemble des
pixels noirs forme une courbe 8-connexe. Sépare-t-elle
bien l'espace en deux composantes 8-connexes distinctes ? Non ! Essayons avec la 4-connexité. Observons
les pixels blancs : ils forment bien deux composantes
4-connexes distinctes. mais la
courbe qui les sépare n'est pas
4-connexe. Comment contourner ou lever ce paradoxe ?
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Hors-série n°52. Mathématiques & informatique Tangente