SAVOIRS
Images numériques ...
ILa topologie reconnue par l'ordinateur
Comment un o rdinateur pe ut-il « vo ir », « manipuler » et
« ex plo iter » la to po logie d ' une scène représentée dans
une image?
T out d ' abord , le modè le mathématique utili sé pour
représenter l'image do it permettre d ' encoder sa topolog ie : un nuage de po ints et une soupe de tri ang les en
sont par exemple bien incapables. Ex traire la topo log ie
d ' un objet représenté dans une matrice de pi xels pose
égaleme nt un certain no mbre de problèmes. Fort heureusement, des a lgorithmes ont été développés pour
reconstruire des modè les topolog iques à partir de telles
do nnées. En outre, il fa ut di sposer d ' in fo rmati ons
to po logiques calculables et ex plo itables (par exemple
comparables) sur des images. La topo log ie a lgébrique
est ici d ' un grand secours pui squ 'elle fo urnit toute une
panoplie d ' in vari ants : caractéri stique d 'Euler, groupes
d ' homo log ie, groupes d ' homotopie ...
Les groupes d ' homo logie permettent de caractéri ser les
« trous » d ' un objet. Cette info rmatio n est calculable et
peut être mise sous la fo rme d ' un vecteur d ' entiers (le
nombre de Betti et d 'éventue ls coefficients de torsion).
Il est donc aisé de comparer les groupes d ' ho mo logie
de plusieurs objets. En outre, il est possible de calcule r
un représentant po ur chaque trou. Le tore représenté
c i-contre possède de ux tro us de dime nsion 1 (en ro uge
et en bleu).
La diffic ulté rés ide
alors dans la définition,
le calcul et l' utilisation
de tels invariants sur les
0
.
.
.
modèles mathématiques particuliers uti lisés dans les images numériques. Il s'agit là d ' un
domai ne de recherche très actif.
_. Références (en France) concernant le
calcul de l' homologie sur des images:
travaux de Sylvie Alayrangues, Dobrina
Bo ltcheva, Guill aume Damiand , Laurent Fuchs,
Jacques-O li vier Lachaud , Pascal Lienhardt,
Samue l Pe ltier.
30 , votre machine-outil tente de produire une bouteille de Klein, il y a fo rt
à parier qu'elle ne s'en remettra pas '
En synthèse d 'i mages, lorsq u' il s'ag it
d'éclairer une scène, i I est indispensable
de savo ir quels éléments de la scène
vo nt être écla irés par une source de
lumière et quel s autres seront occultés.
li n'est ainsi plu s utile, lorsq u' une
scène représente un bâtiment entier, de
chercher à ca lcul er l'éc lairage apporté
par une ampoule allumée au sous-sol
sur les objets présents dans le grenier.
Le
ca lcul
de
caractéristiques
topologiques permet de répondre partie ll ement à certaines de ces questions.
Les propriétés topologiques sont, en
effet, des propriétés qui ont trait à
la structure même des objets ou des
scènes représentées. Dans les appli -
cation s de reconnaissance de fo rme,
elles pe uvent ain si permettre d'éviter
un certain nombre de biais.
Par exemple, un même objet capté
sous différentes conditi ons d'éclairement , d ' angles de vue, en utili sa nt
éventuellement des modes de captation
différents, garde (mod ul o les erreurs
d'acquisition) la mê me topo log ie.
même si sa géométrie est déformée, ses
couleurs mod ifi ées ... Réc iproquement,
il est poss ible de di stinguer certai ns
objets en observant leur topol og ie.
Ainsi, sans les goûter, il est poss ible de
distinguer un donul d'un bretzel rien
qu'en comptant le nombre de trous de
chacun des deux objets
Lors de l'étude de séquences d'images
de battement de cœur, être en mesure
de détecter les changements de topologie provoqués par l' ouverture et la
fermeture de la va lve aortique peut
permettre de déceler des anomali es.
Tangente Hors-série n°52. Mathématiques & informatique
Images numériques ...
ILa topologie reconnue par l'ordinateur
Comment un o rdinateur pe ut-il « vo ir », « manipuler » et
« ex plo iter » la to po logie d ' une scène représentée dans
une image?
T out d ' abord , le modè le mathématique utili sé pour
représenter l'image do it permettre d ' encoder sa topolog ie : un nuage de po ints et une soupe de tri ang les en
sont par exemple bien incapables. Ex traire la topo log ie
d ' un objet représenté dans une matrice de pi xels pose
égaleme nt un certain no mbre de problèmes. Fort heureusement, des a lgorithmes ont été développés pour
reconstruire des modè les topolog iques à partir de telles
do nnées. En outre, il fa ut di sposer d ' in fo rmati ons
to po logiques calculables et ex plo itables (par exemple
comparables) sur des images. La topo log ie a lgébrique
est ici d ' un grand secours pui squ 'elle fo urnit toute une
panoplie d ' in vari ants : caractéri stique d 'Euler, groupes
d ' homo log ie, groupes d ' homotopie ...
Les groupes d ' homo logie permettent de caractéri ser les
« trous » d ' un objet. Cette info rmatio n est calculable et
peut être mise sous la fo rme d ' un vecteur d ' entiers (le
nombre de Betti et d 'éventue ls coefficients de torsion).
Il est donc aisé de comparer les groupes d ' ho mo logie
de plusieurs objets. En outre, il est possible de calcule r
un représentant po ur chaque trou. Le tore représenté
c i-contre possède de ux tro us de dime nsion 1 (en ro uge
et en bleu).
La diffic ulté rés ide
alors dans la définition,
le calcul et l' utilisation
de tels invariants sur les
0
.
.
.
modèles mathématiques particuliers uti lisés dans les images numériques. Il s'agit là d ' un
domai ne de recherche très actif.
_. Références (en France) concernant le
calcul de l' homologie sur des images:
travaux de Sylvie Alayrangues, Dobrina
Bo ltcheva, Guill aume Damiand , Laurent Fuchs,
Jacques-O li vier Lachaud , Pascal Lienhardt,
Samue l Pe ltier.
30 , votre machine-outil tente de produire une bouteille de Klein, il y a fo rt
à parier qu'elle ne s'en remettra pas '
En synthèse d 'i mages, lorsq u' il s'ag it
d'éclairer une scène, i I est indispensable
de savo ir quels éléments de la scène
vo nt être écla irés par une source de
lumière et quel s autres seront occultés.
li n'est ainsi plu s utile, lorsq u' une
scène représente un bâtiment entier, de
chercher à ca lcul er l'éc lairage apporté
par une ampoule allumée au sous-sol
sur les objets présents dans le grenier.
Le
ca lcul
de
caractéristiques
topologiques permet de répondre partie ll ement à certaines de ces questions.
Les propriétés topologiques sont, en
effet, des propriétés qui ont trait à
la structure même des objets ou des
scènes représentées. Dans les appli -
cation s de reconnaissance de fo rme,
elles pe uvent ain si permettre d'éviter
un certain nombre de biais.
Par exemple, un même objet capté
sous différentes conditi ons d'éclairement , d ' angles de vue, en utili sa nt
éventuellement des modes de captation
différents, garde (mod ul o les erreurs
d'acquisition) la mê me topo log ie.
même si sa géométrie est déformée, ses
couleurs mod ifi ées ... Réc iproquement,
il est poss ible de di stinguer certai ns
objets en observant leur topol og ie.
Ainsi, sans les goûter, il est poss ible de
distinguer un donul d'un bretzel rien
qu'en comptant le nombre de trous de
chacun des deux objets
Lors de l'étude de séquences d'images
de battement de cœur, être en mesure
de détecter les changements de topologie provoqués par l' ouverture et la
fermeture de la va lve aortique peut
permettre de déceler des anomali es.
Tangente Hors-série n°52. Mathématiques & informatique