2.2 Quantum Elastic Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.1 The Coulomb Potentials and the Hydrogen Atom . . . . . . . 49
2.2.2 The Formulation of Quantum Elastic Scattering . . . . . . . . . 52
2.2.3 The Quantum Elastic Scattering Cross Section . . . . . . . . . 58
2.3 Realistic Models for Scattering Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.1 Continuum Solutions for Hydrogen-Like Atoms E > 0 . . . 61
2.3.2 The Rigid Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3.3 The Morse Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4 Numerical Integration of the Schrödinger Equation . . . . . . . . . . . . 66
2.4.1 Expectation Values of the Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4.2 Approximation to the Laplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4.3 Approximating the Wave Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.4 The Approximation to the Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5 Numerical Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5.1 Systems of Linear Algebraic Equations . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5.2 The Structure of the Wave Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.3 The Time-Dependent Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.6.1 Qualitative Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.6.2 Quantitative Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3 Ab initio Electronic Structure for Few-Body Systems . . . . . . . . . . . . 83
3.1 Structured Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.1 The One-Electron Wavefunction Approach . . . . . . . . . . . . 83
3.1.2 Quantum Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1.3 Many-Electron Wavefunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.1.4 The Electronic Structure of Molecules . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2 Higher Level Ab initio Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.1 Beyond the Hartree–Fock Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.2 The CI and MC-SCF Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2.3 Perturbation Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3 Toward Extended Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3.1 Computation of Other Molecular Properties . . . . . . . . . . . . 95
3.3.2 Density Functional Theory Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3.3 The Valence Electron Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3.4 Dropping Multicenter Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4 Full Range Process Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.4.1 The Three-Body Internuclear Coordinates . . . . . . . . . . . . . 99
3.4.2 Global Formulation of the Potential Energy Surface . . . . . 100
3.4.3 Local and Mobile Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4.4 Process-Driven Local and Mobile Fitting Methods . . . . . . . 104
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Contents
2.2.1 The Coulomb Potentials and the Hydrogen Atom . . . . . . . 49
2.2.2 The Formulation of Quantum Elastic Scattering . . . . . . . . . 52
2.2.3 The Quantum Elastic Scattering Cross Section . . . . . . . . . 58
2.3 Realistic Models for Scattering Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.1 Continuum Solutions for Hydrogen-Like Atoms E > 0 . . . 61
2.3.2 The Rigid Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3.3 The Morse Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4 Numerical Integration of the Schrödinger Equation . . . . . . . . . . . . 66
2.4.1 Expectation Values of the Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4.2 Approximation to the Laplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4.3 Approximating the Wave Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.4 The Approximation to the Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5 Numerical Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5.1 Systems of Linear Algebraic Equations . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5.2 The Structure of the Wave Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.3 The Time-Dependent Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.6.1 Qualitative Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.6.2 Quantitative Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3 Ab initio Electronic Structure for Few-Body Systems . . . . . . . . . . . . 83
3.1 Structured Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.1 The One-Electron Wavefunction Approach . . . . . . . . . . . . 83
3.1.2 Quantum Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1.3 Many-Electron Wavefunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.1.4 The Electronic Structure of Molecules . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2 Higher Level Ab initio Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.1 Beyond the Hartree–Fock Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.2 The CI and MC-SCF Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2.3 Perturbation Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3 Toward Extended Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3.1 Computation of Other Molecular Properties . . . . . . . . . . . . 95
3.3.2 Density Functional Theory Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3.3 The Valence Electron Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3.4 Dropping Multicenter Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4 Full Range Process Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.4.1 The Three-Body Internuclear Coordinates . . . . . . . . . . . . . 99
3.4.2 Global Formulation of the Potential Energy Surface . . . . . 100
3.4.3 Local and Mobile Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4.4 Process-Driven Local and Mobile Fitting Methods . . . . . . . 104
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