Solutions
II.1.21. On a a n+1 = (a n − a)
2
+ a n a n pour n 1. La suite est donc
croissante. De plus, si elle converge, alors lim
n→+∞
a n = a. Donc, si a 1 > a, la
suite diverge. Dans le cas où a − 1 a 1 a, on a aussi a − 1 a n a pour
n > 1 et la suite converge dans ce cas. Enfin, si a 1 < a − 1, alors a 2 > a et la
suite diverge.
II.1.22. Il est évident que la suite peut converger vers a ou b. On considère
les cas suivants :
1) c > b.
On a alors a 2 =
c 2 +ab
a+b > c = a 1 et, par récurrence, a n+1 > a n . Donc,
lim
n→+∞
a n = +∞.
2) c = b.
Évidemment, a n = b pour tout n ∈ N ∗ .
3) a < c < b.
On peut montrer, par récurrence, que la suite {a n } est décroissante et
minorée par a. Donc, lim
n→+∞
a n = a.
4) c = a.
Clairement, a n = a pour tout n ∈ N ∗ .
5) 0 < c < a.
On utilise à nouveau la récurrence pour prouver que {a n } est croissante
et majorée par a. Il s’ensuit que lim
n→+∞
a n = a.
II.1.23. On remarque que a n+1 = 6
1 −
6
an+7
pour tout n ∈ N ∗ . D’où, par
récurrence,
si a 1 < 2, alors a n < 2, n ∈ N
∗ ;
si a 1 > 2, alors a n > 2, n ∈ N
∗ .
De plus,
a n+1 − a n = −
(a n + 3)(a n − 2)
a n + 7
.
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