Chapitre II. Suites de nombres réels
D’où,
1) si 0 < a 1 < 2, alors la suite est croissante et majorée par 2 et
lim
n→+∞
a n = 2,
2) si a 1 > 2, alors la suite est décroissante et minorée par 2 et lim
n→+∞
a n = 2,
3) si a 1 = 2, alors a n = 2 pour tout n ∈ N ∗ .
II.1.24. Puisque 0 = a 1 a 2 et a 2
n+1 − a 2
n = a n − a n−1 , on voit, par récurrence, que a n+1 a n pour tout n ∈ N ∗ . La suite est majorée, par exemple par
√ 1 + 4c. On peut facilement prouver que lim
n→+∞
a n =
1+
√ 1+4c
2
.
II.1.25. Puisque a 2 =
2
√ 2 >
√
2 = a 1 et a 2
n+1 − a 2
n = 2(a n − a n−1 ), on
peut montrer par récurrence que a n+1 a n pour tout n ∈ N ∗ . La suite est
majorée par 2 et lim
n→+∞
a n = 2.
II.1.26. Pour k = 1, on obtient a n = 5 n (n ∈ N ∗ ) et {a n } diverge donc
vers +∞.
Pour k > 1,
a 2 =
k
5
k
√ 5 >
k
√ 5 = a 1 et a
k
n+1 − a
k
n = 5 (a n − a n−1 ) .
Il s’ensuit (par récurrence) que {a n } est strictement croissante. De plus,
a n <
k−1 √ 5 pour tout n ∈ N ∗ . On peut facilement vérifier que lim
n→+∞
a n =
k−1 √ 5.
II.1.27. On voit (par récurrence) que 1 a n 2 pour n ∈ N ∗ . La monotonie de la suite se déduit de l’égalité a 2
n+1 − a 2
n = 3(a n − a n−1 ). Donc, pour
1 < a 1 < 2, la suite est croissante et sa limite est 2. D’autre part, si a 1 = 1 ou
a 1 = 2, la suite est alors constante.
II.1.28.
(a) On a a 1 < a 2 et a 2
n+1 − a 2
n = a n − a n−1 . Il s’ensuit, par récurrence, que
la suite est croissante et majorée par c. Clairement, lim
n→+∞
a n = c.
(b) Puisque b 2 =
c
√ c >
√ c = b 1 et b 2
n+1 − b 2
n = c(b n − b n−1 ), on conclut,
en utilisant une récurrence, que la suite est croissante et majorée par c
qui est sa limite.
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