Chapitre II. Suites de nombres réels
II.1.18. On peut montrer, par récurrence, que la suite {a n } est strictement
croissante. Si elle était majorée, il existerait un réel g tel que g = lim
n→+∞
a n .
On aurait aussi g 2 − 2g + c = 0. Cette équation a une racine réelle si c 1. On
suppose donc que 0 < c 1. La suite {a n } est alors majorée par 1 −
√ 1 − c
et lim
n→+∞
a n = 1 −
√ 1 − c.
Pour c > 1, la suite est strictement croissante et ne converge pas, donc
diverge vers +∞.
II.1.19. Puisque
a n+1 = a n
1 − 2
a 2
n − a
3a 2
n + a
pour n 1,
on obtient :
si a n >
√
a, alors a n+1 < a n ,
si a n <
√
a, alors a n+1 > a n ,
si a n =
√
a, alors a n+1 =
√
a.
On observe alors que
a n
a 2
n + 3a
3a 2
n + a
>
√
a si et seulement si
a n −
√
a
3 > 0,
ce qui est équivalent à a n >
√ a. Enfin,
si 0 < a 1 <
√
a, alors {a n } est croissante et majorée par
√
a,
si a 1 >
√
a, alors {a n } est décroissante et minorée par
√
a,
si a 1 =
√
a, alors {a n } est une suite constante.
Dans chacun des cas précédents, la suite converge vers
√ a.
II.1.20. On peut prouver par récurrence que
a n =
(3 n−1 − 1) − (3 n−1 − 3)a 1
(3 n − 1) − (3 n − 3)a 1
pour n 1.
La suite n’est donc pas définie pour a 1 =
3 n+1 −1
3 n+1 −3 , n ∈ N ∗ . De plus, si a 1 = 1,
alors a n = 1 pour tout n ∈ N ∗ . Pour toute autre valeur de a 1 , la suite converge
vers 1/3.
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