Solutions
(b) De façon évidente, {a n } est croissante. De plus,
a n = 1 +
1
2 2 +
1
3 3 + · · · +
1
n n < 1 +
1
2 2 +
1
3 2 + · · · +
1
n 2 .
La suite est donc majorée comme conséquence de (a).
II.1.14. Pour n 1, on a
a n+1 − a n = −
1
n(n + 1)
+
1
2n(2n + 1)
+
1
(2n + 1)(2n + 2)
< 0.
La suite est donc convergente puisque décroissante et minorée.
II.1.15. On obtient, avec l’inégalité entre les moyennes arithmétique et géométrique,
a n+1
p
a
p−1
n
a
a
p−1
n
=
p
√
a, n 1.
Donc,
a n+1 − a n = −
a n
p
+
a
pa
p−1
n
= −
a
p
n − a
pa
p−1
n
0 pour n 2,
ce qui montre que la suite converge et lim
n→∞
a n =
p
√
a.
II.1.16. Clairement, 0 < a n < 2 pour n 1. De plus,
a
2
n+1 − a
2
n =
√ a n −
√ a n−1 > 0 si a n > a n−1 .
La suite converge donc vers une limite g vérifiant l’égalité g =
2 +
√
g.
Remarque. On montre, en utilisant la formule de Cardan pour les racines réelles
d’un polynôme de degré 3, que
g =
1
3
3
1
2
79 + 3
√ 249
+
3
1
2
79 − 3
√ 249
− 1
.
II.1.17. On remarque que a n+1 = 2
2 −
5
an+3
, n 1. On peut alors établir, par récurrence, que 0 < a n < 2 pour n 1. De plus,
a n+1 − a n = −
(a n + 1)(a n − 2)
a n + 3
0.
La suite converge donc et lim
n→+∞
a n = 2.
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