Chapitre II. Suites de nombres réels
II.1.10. On voit immédiatement que 0 a n < 1 pour n 1. Pour prouver
la monotonie de la suite, on va avoir besoin de la forme suivante du principe
de récurrence :
W (n) est vraie pour tout entier naturel n si les deux conditions suivantes
sont vérifiées :
(i) W (0) est vérifiée.
(ii) Le fait que W (k) soit vraie pour 0 k n implique que W (n + 1) est
aussi vraie.
On suppose que a n−1 a n−2 et a n a n−1 . On a alors
a n+1 − a n =
1
3
a n − a n−1 + a
3
n−1 − a
3
n−2
0.
La suite est donc convergente. On note g sa limite. On a g =
1
3
1 + g + g 3
.
En conséquence,
g = 1 ou g =
−1 +
√ 5
2
ou g =
−1 −
√ 5
2
.
On remarque que tous les termes de la suite sont positifs et inférieurs à
g =
−1+
√ 5
2
. Donc, lim
n→+∞
a n = g =
−1+
√ 5
2
.
II.1.11. On a a n+1 = a n
n+1
2n+3 < a n (n 1). On obtient donc (voir la solution
du problème II.1.3) g = 0.
II.1.12. Puisque a n+1 = a n
2n+2
2n+3 < a n pour n 1, la suite est décroissante.
Elle est minorée par 0 donc elle converge.
II.1.13.
(a) Clairement, {a n } est croissante. On montre qu’elle est majorée. En effet,
a n = 1 +
1
2 2 +
1
3 2 + · · · +
1
n 2
< 1 +
1
1 × 2
+
1
2 × 3
+ · · · +
1
(n − 1)n
= 1 +
1 −
1
2
+
1
2
−
1
3
+ · · · +
1
n − 1
−
1
n
= 2 −
1
n
< 2.
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