Solutions
II.1.5.
(a) On montre que la suite {a n } est décroissante et minorée. En effet,
a n+1 − a n =
−1
√
n + 1
√
n + 1 +
√
n
2 < 0.
De plus, d’après l’inégalité donnée en indication (qui peut se prouver par
récurrence), on a a n > 2
√
n + 1 −
√
n − 1
> −2.
(b) La démonstration suit la même méthode qu’en (a).
II.1.6. On montre d’abord par récurrence que
3
2 a n 2 pour n ∈ N ∗
et que la suite {a n } est strictement croissante. Ces deux faits impliquent la
convergence de {a n }. Soit g = lim
n→+∞
a n . Puisque a n =
√
3a n−1 − 2, on a
g =
√ 3g − 2 et g = 2.
II.1.7. On peut montrer par récurrence que a n > 2c. Bien sûr, a 1 < a 2 . De
plus, si a n > a n−1 , alors
a n+1 = (a n − c)
2 > (a n−1 − c)
2
= a n ,
l’inégalité se déduisant de la monotonie de la fonction f (x) = x 2 sur R + .
II.1.8. D’après l’inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique et les
hypothèses, on a
a n + (1 − a n+1 )
2
a n (1 − a n+1 ) >
1
2
,
d’où a n − a n+1 > 0. La suite {a n } converge donc vers une limite g. Puisque
a n (1 − a n+1 ) >
1
4 , on a g(1 − g)
1
4 . Cette dernière inégalité est équivalente
à (2g − 1) 2 0, ce qui donne g =
1
2 .
II.1.9. Clairement, 0 a n < 3 pour n 1. De plus, a 2
n+1 − a 2
n =
−a 2
n + a n + 6 > 0 pour 0 a n < 3. La suite est donc croissante et majorée, d’où convergente. La définition de la suite donne lim
n→+∞
a n = 3.
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