Chapitre II. Suites de nombres réels
Solutions
II.1. Suites monotones
II.1.1.
(a) Soit {a n } une suite croissante majorée. On a sup {a n : n ∈ N} = A <
+∞. Donc pour tout n ∈ N, a n A. Puisque pour tout ε > 0, A − ε
n’est pas un majorant de l’ensemble {a n : n ∈ N}, il existe a n 0 tel que
a n 0 > A− ε. La suite étant monotone, A a n > A− ε pour tout n > n 0 .
Donc, lim
n→+∞
a n = A.
On suppose maintenant que {a n } n’est pas majorée. Pour tout M , il
existe a n 0 tel que a n 0 > M. La suite étant monotone, a n > M pour tout
n > n 0 et lim
n→+∞
a n = +∞.
(b) Voir la solution de (a).
II.1.2. On a
s n
s n−1
s n+1
s n
pour n 2.
En effet, d’après I.2.19, on a
s
2
n s n+1 s n−1 .
(1)
On va prouver que {x n } est une suite croissante. L’inégalité x 1 x 2 se déduit
de
n
k=1
a k
2
p
n
k=1
a 2
k (voir la solution de I.2.20). Supposons maintenant
que x n−1 x n . On a alors
s n−1 s
n−1
n
n .
(2)
Donc, d’après (1) et (2),
x n+1 =
n+1 √ s n+1
n+1
s 2
n
s n−1
n+1
s 2
n
s
n−1
n
n
= x n .
II.1.3. On a a n+1 =
n+1
2n a n < a n (n > 1). La suite {a n } est donc strictement
décroissante. Puisqu’elle est minorée (par exemple par 0), lim
n→+∞
a n = g existe.
Le réel g est solution de l’équation g =
1
2 g, donc g = 0.
II.1.4. On pose b n = a n −
1
2 n−1 . On a alors b n+1 − b n = a n+1 − a n +
1
2 n 0.
Donc la suite {b n } converge et il en est de même de la suite {a n }.
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