Énoncés
II.5.82. Soit a k,n , b k,n (n ∈ N ∗ , k = 1, 2, . . . , n) deux tableaux triangulaires de
réels, b k,n = 0. On suppose que
a k,n
b k,n
− −−−− →
n→+∞
1 uniformément par rapport à k,
autrement dit, pour tout ε > 0, il existe un entier n 0 tel que
a k,n
b k,n
− 1
< ε
pour tout n > n 0 et k = 1, 2, . . . , n. Montrer que si lim
n→+∞
n
k=1
b k,n existe, alors
lim
n→+∞
n
k=1
a k,n = lim
n→+∞
n
k=1
b k,n .
II.5.83. Étant donné a = 0, trouver
lim
n→+∞
n
k=1
sin
(2k − 1)a
n 2
.
II.5.84. Pour a > 0, déterminer
lim
n→+∞
n
k=1
a
k
n 2 − 1
.
II.5.85. Trouver
lim
n→+∞
n
k=1
1 +
k
n 2
.
II.5.86. Pour p = 0 et q > 0, déterminer
lim
n→+∞
n
k=1
1 +
k q−1
n q
1
p − 1
.
II.5.87. Étant donné des réels strictement positifs a, b et d tels que b > a,
calculer
lim
n→+∞
a(a + d) · · · (a + nd)
b(b + d) · · · (b + nd)
.
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