Chapitre II. Suites de nombres réels
II.5.77. On suppose que les termes de la suite {a n } vérifient la condition
0 a m+n a m · a n pour m, n ∈ N
∗ .
Prouver que la limite lim
n→+∞
n
√ a n existe.
II.5.78. On suppose que les termes de la suite {a n } vérifient les conditions
|a n | 1,
a m + a n − 1 a m+n a m + a n + 1
pour m, n ∈ N ∗ .
(a) Prouver que la limite lim
n→+∞
an
n existe.
(b) Prouver que si lim
n→+∞
an
n = g, alors
ng − 1 a n ng + 1 pour n ∈ N
∗ .
II.5.79. On suppose que {a n } est une suite croissante et strictement positive
vérifiant la condition
a n·m na m pour m, n ∈ N
∗ .
Prouver que si sup
an
n : n ∈ N ∗
< +∞, alors la suite
an
n
converge.
II.5.80. Étant donné deux réels strictement positifs a 1 et a 2 , prouver que la
suite récurrente {a n } définie par
a n+2 =
2
a n+1 + a n
pour n ∈ N
∗
converge.
II.5.81. Pour b 1 a 1 > 0, on considère les deux suites {a n } et {b n } définies
par
a n+1 =
a n + b n
2
, b n =
a n+1 b n pour n ∈ N
∗ .
Démontrer que les deux suites convergent vers la même limite.
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