Énoncés
II.5.71. Prouver que pour toute suite strictement positive {a n },
lim
n→+∞
a 1 + a n+1
a n
n
e.
II.5.72. Prouver la généralisation suivante du résultat précédent : pour tout
entier p > 0 et pour toute suite strictement positive {a n }, on a
lim
n→+∞
a 1 + a n+p
a n
n
e
p .
II.5.73. Prouver que pour toute suite strictement positive {a n }, on a
lim
n→+∞
n
1 + a n+1
a n
− 1
1.
Prouver que le minorant 1 est optimal.
II.5.74. On pose
a n =
1 +
1 + · · · +
√ 1
n racines
.
Trouver lim
n→+∞
a n .
II.5.75. Soit {a n } une suite dont les termes sont strictement plus grands que 1
et telle que
lim
n→+∞
ln ln a n
n
= α.
On considère la suite {b n } définie par
b n =
a 1 +
a 2 + · · · +
√ a n , n ∈ N
∗ .
Prouver que la suite {b n } converge si α < ln 2 et qu’elle diverge vers +∞ si
α > ln 2.
II.5.76. On suppose que les termes de la suite {a n } vérifient la condition
0 a m+n a m + a n pour m, n ∈ N
∗ .
Prouver que la limite lim
n→+∞
an
n existe.
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