Chapitre II. Suites de nombres réels
II.5.64. On suppose que la suite majorée {a n } vérifie la condition
a n+1 − a n > −
1
n 2 , n ∈ N
∗ .
Établir la convergence de {a n }.
II.5.65. On suppose que la suite bornée {a n } vérifie la condition
a n+1
2 n
√ 2 a n , n ∈ N
∗ .
Établir la convergence de {a n }.
II.5.66. On note respectivement l et L les limites inférieure et supérieure de la
suite {a n }. Prouver que si lim
n→+∞
(a n+1 − a n ) = 0, alors tout élément de l’intervalle
ouvert ]l , L[ est une valeur d’adhérence de {a n }.
II.5.67. On note respectivement l et L les limites inférieure et supérieure de
la suite {a n }. On suppose que pour tout n, a n+1 − a n > −α n avec α n > 0 et
lim
n→+∞
α n = 0. Prouver que tout élément de l’intervalle ouvert ]l , L[ est une valeur
d’adhérence de {a n }.
II.5.68. Soit {a n } une suite croissante et strictement positive. Prouver que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite
a n
n + a n
, n ∈ N
∗ ,
est un intervalle (réduit à un singleton en cas de convergence).
II.5.69. Étant donné a 1 ∈ R, on considère la suite {a n } définie par
a n+1 =
⎧
⎨
⎩
a n
2
pour n pair,
1 + a n
2
pour n impair.
Trouver les valeurs d’adhérence de cette suite.
II.5.70. Zéro est-il valeur d’adhérence de la suite {
√
n sin n} ?
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