Énoncés
II.5.58. Déterminer pour quelles valeurs de α la suite
a n =
1 −
1
n
α
1 −
2
n
α
· · ·
1 −
n − 1
n
α
, n 2,
converge.
II.5.59. Pour x ∈ R, on pose {x} = x − [x]. Trouver lim
n→+∞
2 +
√ 3
n
.
II.5.60. Soit {a n } une suite strictement positive, on pose S n = a 1 + a 2 + · · ·+ a n
(n 1). On suppose que
a n+1
1
S n+1
((S n − 1)a n + a n−1 ) , n 1.
Déterminer lim
n→+∞
a n .
II.5.61. Soit {a n } une suite strictement positive telle que
lim
n→+∞
a n
n
= 0 et
lim
n→+∞
a 1 + a 2 + · · · + a n
n
< +∞.
Trouver
lim
n→+∞
a 2
1 + a 2
2 + · · · + a 2
n
n 2
.
II.5.62. On considère deux suites {a n } et {b n } strictement positives telles que
lim
n→+∞
a n
a 1 + a 2 + · · · + a n
= 0 et
lim
n→+∞
b n
b 1 + b 2 + · · · + b n
= 0.
On définit la suite {c n } en posant
c n = a 1 b n + a 2 b n−1 + · · · + a n b 1 , n ∈ N
∗ .
Montrer que
lim
n→+∞
c n
c 1 + c 2 + · · · + c n
= 0.
II.5.63. Trouver
lim
n→+∞
1 +
1
n
n 2
e
−n .
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