Chapitre II. Suites de nombres réels
II.5.53. Prouver que
(a) si 0 < a < 1, alors
lim
n→+∞
n−1
j=1
ja j
n − j
= 0,
(b) si 0 < a < 1, alors
lim
n→+∞
na
n
n
j=1
1
ja j =
1
1 − a
,
(c) si b > 1, alors
lim
n→+∞
n
b n
n
j=1
b j−1
j
=
1
b − 1
.
II.5.54. Calculer
lim
n→+∞
sin
π
n + 1
+ sin
π
n + 2
+ · · · + sin
π
2n
.
II.5.55. Trouver
(a) lim
n→+∞
n
k=1
1 +
k 2
cn 3
, où c > 0,
(b) lim
n→+∞
n
k=1
1 −
k 2
cn 3
, où c > 1.
II.5.56. Déterminer
lim
n→+∞
√
n 3n
n!
n
k=1
sin
k
n
√
n
.
II.5.57. On définit la suite {a n } par
a n =
n
k=0
n
k
−1
, n 1.
Montrer que lim
n→+∞
a n = 2.
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