Énoncés
II.5.46. Montrer que
lim
n→+∞
1 + 2
1 + 3
1 + · · ·
1 + (n − 1)
√ 1 + n = 3.
II.5.47. Étant donné a > 0, on définit la suite récurrente {a n } en posant
a 1 < 0,
a n+1 =
a
a n
− 1 pour n ∈ N
∗ .
Prouver que la suite converge vers la racine négative de l’équation x 2 + x = a.
II.5.48. Étant donné a > 0, on définit la suite récurrente {a n } par
a 1 > 0,
a n+1 =
a
a n + 1
pour n ∈ N
∗ .
Prouver que la suite converge vers la racine positive de l’équation x 2 + x = a.
II.5.49. Soit {a n } la suite définie par la relation
a 1 = 1,
a n+1 =
2 + a n
1 + a n
pour n ∈ N
∗ .
Prouver que cette suite est une suite de Cauchy et trouver sa limite.
II.5.50. Soit {a n } la suite définie par
a 1 > 0,
a n+1 = 2 +
1
a n
pour n ∈ N
∗ .
Prouver que cette suite est une suite de Cauchy et trouver sa limite.
II.5.51. Étant donné a > 0, on définit la suite {a n } par
a 1 = 0,
a n+1 =
a
2 + a n
pour n ∈ N
∗ .
Étudier la convergence de la suite.
II.5.52. On suppose que
a 1 ∈ R et a n+1 =
a n − 2
1−n
pour n ∈ N
∗ .
Étudier la convergence de cette suite et, si elle converge, trouver sa limite.
75