Chapitre II. Suites de nombres réels
II.5.39. Soit a 1 et a 2 deux réels strictement positifs. Étudier la convergence de
la suite {a n } définie par la relation
a n+1 = a n e
an−a n−1 pour n > 1.
II.5.40. Étant donné a > 1 et x > 0, on définit {a n } en posant a 1 = a x et
a n+1 = a an , n ∈ N ∗ . Étudier la convergence de cette suite.
II.5.41. Montrer que
2 +
2 + · · · +
√ 2
n racines
= 2 cos
π
2 n+1 .
Utiliser cette relation pour trouver la limite de la suite récurrente définie par
a 1 =
√ 2,
a n+1 =
√ 2 + a n , n 1.
II.5.42. Soit {ε n } une suite dont les termes prennent leur valeur dans l’ensemble
{−1, 0, 1}. Établir la relation
ε 1
2 + ε 2
2 + · · · + ε n
√ 2 = 2 sin
π
4
n
k=1
ε 1 ε 2 · · · ε k
2 k−1
(n ∈ N
∗
)
et montrer que la suite
a n = ε 1
2 + ε 2
2 + · · · + ε n
√
2
converge.
II.5.43. Calculer
lim
n→+∞
Arctan
1
2
+ Arctan
1
2 · 2 2 + · · · + Arctan
1
2n 2
.
II.5.44. Trouver lim
n→+∞
sin
π
√
n 2 + n
.
II.5.45. Étudier la convergence de la suite récurrente définie comme suit :
a 1 =
√ 2, a 2 =
2 +
√ 3, a n+2 =
2 +
√ 3 + a n pour n 1.
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