Énoncés
II.5.34. Prouver que si, pour une suite strictement positive {a n }, la limite
lim
n→+∞
n
1 −
a n+1
a n
existe (finie ou infinie), alors
lim
n→+∞
ln
1
an
ln n
existe aussi et les deux limites sont égales.
II.5.35. Étant donné a 1 , b 1 ∈ ]0 , 1[, prouver que les suites {a n } et {b n } définies
par
a n+1 = a 1 (1 − a n − b n ) + a n , b n+1 = b 1 (1 − a n − b n ) + b n , n 1,
convergent et trouver leur limite respective.
II.5.36. On considère, pour a et a 1 strictement positifs, la suite définie par
a n+1 = a n (2 − aa n ), n ∈ N
∗ .
Étudier la convergence de cette suite.
II.5.37. Montrer que si a 1 et a 2 sont strictement positifs et
a n+2 =
√ a n +
√ a n+1 , n ∈ N
∗ ,
alors la suite {a n } converge. Trouver sa limite.
II.5.38. Soit f :
R ∗
+
k −→ R ∗
+ une fonction croissante en chacune de ses variables telle qu’il existe a > 0 vérifiant
f (x, x, . . . , x) > x pour 0 < x < a,
f (x, x, . . . , x) < x pour x > a.
Étant donné a 1 , a 2 , . . . , a k , on définit la suite récurrente {a n } par
a n = f (a n−1 , a n−2 , . . . , a n−k ) pour n > k.
Prouver que lim
n→+∞
a n = a.
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