Chapitre II. Suites de nombres réels
II.5.27. Soit {a n } la suite des racines successives de l’équation tan x = x, x > 0.
Déterminer lim
n→+∞
(a n+1 − a n ).
II.5.28. Pour |a|
π
2 et a 1 ∈ R, on considère la suite définie par
a n+1 = a sin a n , n 1.
Étudier la convergence de cette suite.
II.5.29. Étant donné a 1 > 0, on considère la suite {a n } définie en posant
a n+1 = ln(1 + a n ), n 1.
Prouver que
(a) lim
n→+∞
na n = 2,
(b) lim
n→+∞
n(na n − 2)
ln n
=
2
3
.
II.5.30. On définit la suite récurrente {a n } par
a 1 = 0,
a n+1 =
1
4
an
, n 1.
Étudier la convergence de cette suite.
II.5.31. Étant donné a 1 > 0, on définit la suite {a n } comme suit :
a n+1 = 2
1−an ,
n 1.
Étudier la convergence de cette suite.
II.5.32. Trouver la limite de la suite définie par
a 1 =
√ 2, a n+1 = 2
an
2 , n 1.
II.5.33. Prouver que si lim
n→+∞
(a n − a n−2 ) = 0, alors
lim
n→+∞
a n − a n−1
n
= 0.
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