Énoncés
II.5.21. On définit la suite récurrente {a n } en posant
0 < a 1 < 1, a n+1 = a n (1 − a n ), n 1.
Prouver que
(a) lim
n→+∞
na n = 1,
(b) lim
n→+∞
n(1 − na n )
ln n
= 1.
II.5.22. La suite récurrente {a n } est définie par
0 < a 1 < π, a n+1 = sin a n , n 1.
Prouver que lim
n→+∞
√
na n =
√ 3.
II.5.23. On pose
a 1 = 1, a n+1 = a n +
1
n
k=1
a k
, n 1.
Prouver que
lim
n→+∞
a n
√ 2 ln n
= 1.
II.5.24. Soit {a n } la suite récurrente définie par
a 1 > 0,
a n+1 = Arctan a n , n 1.
Déterminer lim
n→+∞
a n .
II.5.25. Prouver que la suite récurrente définie par
0 < a 1 < 1,
a n+1 = cos a n , n 1,
converge vers l’unique racine de l’équation x = cos x.
II.5.26. On définit la suite récurrente {a n } comme suit :
a 1 = 0,
a n+1 = 1 − sin(a n − 1), n 1.
Trouver
lim
n→+∞
1
n
n
k=1
a k .
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