Chapitre II. Suites de nombres réels
II.5.14. Étant donné deux réels a et b, on définit la suite récurrente {a n } comme
suit :
a 1 = 1, a 2 = b, a n+1 =
n − 1
n
a n +
1
n
a n−1 , n 2.
Trouver lim
n→+∞
a n .
II.5.15. On note {a n } la suite récurrente définie par
a 1 = 1, a 2 = 2, a n+1 = n(a n + a n−1 ), n 2.
Trouver une formule explicite donnant le terme général de la suite.
II.5.16. Étant donné deux réels a et b, on définit la suite récurrente {a n } par
a 1 = a, a 2 = b, a n+1 =
1
2n
a n−1 +
2n − 1
2n
a n , n 2.
Déterminer lim
n→+∞
a n .
II.5.17. On pose
a n = 3 −
n
k=1
1
k(k + 1)(k + 1)!
, n ∈ N
∗ .
(a) Prouver que lim
n→+∞
a n = e.
(b) Prouver aussi que 0 < a n − e <
1
(n+1)(n+1)! .
II.5.18. Calculer lim
n→+∞
n sin(2πn!e).
II.5.19. Soit {a n } une suite vérifiant a n < n (n ∈ N ∗ ) et lim
n→+∞
a n = +∞.
Étudier la convergence de la suite
1 −
a n
n
n
,
n∈ N
∗ .
II.5.20. Soit {b n } une suite strictement positive divergeant vers +∞. Étudier
la convergence de la suite
1 +
b n
n
n
,
n∈ N
∗ .
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