Énoncés
II.5.7. Prouver que
lim
n→+∞
1 +
x
1!
+
x 2
2!
+ · · · +
x n
n!
= e
x .
II.5.8.
(a) lim
n→+∞
1
n
+
1
n + 1
+ · · · +
1
2n
= ln 2,
(b) lim
n→+∞
1
n(n + 1)
+
1
(n + 1)(n + 2)
+ · · · +
1
2n(2n + 1)
= ln 2.
II.5.9. Trouver la limite de la suite {a n } définie par
a n =
1 +
1
n 2
1 +
2
n 2
· · ·
1 +
n
n 2
, n ∈ N
∗ .
II.5.10. Soit {a n } la suite récurrente définie par
a 1 = 1, a n = n(a n−1 + 1) pour n = 2, 3, . . .
Déterminer
lim
n→+∞
n
k=1
1 +
1
a k
.
II.5.11. Prouver que lim
n→+∞
(n!e − [n!e]) = 0.
II.5.12. Étant donné a et b strictement positifs, montrer que
lim
n→+∞
n
√
a +
n
√
b
2
n
=
√
ab.
II.5.13. Soit {a n } et {b n } deux suites strictement positives telles que
lim
n→+∞
a
n
n = a,
lim
n→+∞
b
n
n = b,
où a, b > 0.
Soit p et q deux réels strictement positifs vérifiant p + q = 1. Prouver que
lim
n→+∞
(pa n + qb n )
n
= a
p b
q .
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