Chapitre II. Suites de nombres réels
II.5. Problèmes divers
II.5.1. Prouver que si lim
n→+∞
a n = +∞ ou lim
n→+∞
a n = −∞, alors
lim
n→+∞
1 +
1
a n
an
= e.
II.5.2. Pour x ∈ R, prouver que
lim
n→+∞
1 +
x
n
n = e
x .
II.5.3. Pour x ∈ R ∗
+ , établir l’inégalité
x
x + 2
< ln(x + 1) < x.
Prouver aussi (en utilisant la dérivation) que l’on peut améliorer la première
inégalité comme suit :
x
x + 1
<
2x
x + 2
< ln(x + 1), x > 0.
II.5.4. Prouver que
(a) lim
n→+∞
n
n
√
a − 1
= ln a, a > 0,
(b) lim
n→+∞
n
n
√
n − 1
= +∞.
II.5.5. Soit {a n } une suite strictement positive dont les termes sont différents
de 1. Montrer que si lim
n→+∞
a n = 1, alors
lim
n→+∞
ln a n
a n − 1
= 1.
II.5.6. On pose
a n = 1 +
1
1!
+
1
2!
+ · · · +
1
n!
, n ∈ N
∗ .
Prouver que
lim
n→+∞
a n = e
et
0 < e − a n <
1
nn!
.
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