Énoncés
II.4.26. Prouver que, pour toute suite strictement positive {a n }, on a
lim
n→+∞
a n+1
a n
lim
n→+∞
n
√ a n lim
n→+∞
n
√ a n lim
n→+∞
a n+1
a n
.
II.4.27. Pour une suite {a n } donnée, on définit la suite {b n } en posant
b n =
a 1 + a 2 + · · · + a n
n
, n ∈ N
∗ .
Prouver que
lim
n→+∞
a n lim
n→+∞
b n lim
n→+∞
b n lim
n→+∞
a n .
II.4.28. Prouver que
(a) lim
n→+∞
(max{a n , b n }) = max
lim
n→+∞
a n , lim
n→+∞
b n
(b) lim
n→+∞
(min{a n , b n }) = min
lim
n→+∞
a n , lim
n→+∞
b n
Les égalités
(a) lim
n→+∞
(min{a n , b n }) = min
lim
n→+∞
a n , lim
n→+∞
b n
(b) lim
n→+∞
(max{a n , b n }) = max
lim
n→+∞
a n , lim
n→+∞
b n
sont-elles aussi correctes ?
II.4.29. Prouver que toute suite réelle contient une sous-suite monotone.
II.4.30. Utiliser le résultat de l’exercice précédent pour déduire le théorème de
Bolzano-Weierstrass :
Toute suite réelle bornée contient une sous-suite convergente.
II.4.31. Prouver que
lim
n→+∞
a 1 + a 2 + · · · + a n + a n+1
a n
4
pour toute suite {a n } strictement positive. Montrer que 4 est le meilleur minorant.
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