Chapitre II. Suites de nombres réels
II.4.20. Prouver que si lim
n→+∞
a n = a (a ∈ R ∗
+ ) et s’il existe un entier naturel
n 0 tel que b n 0 pour n n 0 , alors
lim
n→+∞
(a n × b n ) = a × lim
n→+∞
b n ,
lim
n→+∞
(a n × b n ) = a × lim
n→+∞
b n .
II.4.21. Prouver que
lim
n→+∞
(−a n ) = − lim
n→+∞
a n ,
lim
n→+∞
(−a n ) = − lim
n→+∞
a n .
II.4.22. Prouver que
lim
n→+∞
1
a n
=
1
lim
n→+∞
a n
,
lim
n→+∞
1
a n
=
1
lim
n→+∞
a n
pour toute suite {a n } strictement positive. (Ici,
1
+∞ = 0,
1
0 + = +∞.)
II.4.23. Prouver que si {a n } est une suite strictement positive telle que
lim
n→+∞
a n · lim
n→+∞
1
a n
= 1,
alors elle converge.
II.4.24. Prouver que si {a n } est une suite telle que, pour toute suite {b n },
lim
n→+∞
(a n + b n ) = lim
n→+∞
a n + lim
n→+∞
b n
ou
lim
n→+∞
(a n + b n ) = lim
n→+∞
a n + lim
n→+∞
b n ,
alors cette suite est convergente.
II.4.25. Prouver que si {a n } est une suite strictement positive telle que, pour
toute suite strictement positive {b n },
lim
n→+∞
(a n × b n ) = lim
n→+∞
a n × lim
n→+∞
b n
ou
lim
n→+∞
(a n × b n ) = lim
n→+∞
a n × lim
n→+∞
b n ,
alors cette suite est convergente.
66