Énoncés
II.4.15. Prouver (à l’exclusion des formes indéterminées des types +∞ − ∞ et
−∞ + ∞) les inégalités suivantes :
lim
n→+∞
a n + lim
n→+∞
b n lim
n→+∞
(a n + b n ) lim
n→+∞
a n + lim
n→+∞
b n
lim
n→+∞
(a n + b n ) lim
n→+∞
a n + lim
n→+∞
b n .
Donner des exemples de suites pour lesquelles les « » sont remplacés par des
« < » dans les inégalités précédentes.
II.4.16. Les inégalités
lim
n→+∞
a n + lim
n→+∞
b n lim
n→+∞
(a n + b n ),
lim
n→+∞
(a n + b n ) lim
n→+∞
a n + lim
n→+∞
b n
restent-elles valides dans le cas d’un nombre infini de suites ?
II.4.17. Soit {a n } et {b n } des suites à termes positifs. Prouver (à l’exclusion
des formes indéterminées des types 0 × (+∞) et +∞ × 0) les inégalités suivantes :
lim
n→+∞
a n × lim
n→+∞
b n lim
n→+∞
(a n × b n ) lim
n→+∞
a n × lim
n→+∞
b n
lim
n→+∞
(a n × b n ) lim
n→+∞
a n × lim
n→+∞
b n .
Donner des exemples de suites pour lesquelles les « » sont remplacés par des
« < » dans les inégalités précédentes.
II.4.18. Prouver que la suite {a n } converge si et seulement si la limite inférieure
et la limite supérieure sont finies et
lim
n→+∞
a n = lim
n→+∞
a n .
Prouver qu’un théorème semblable est aussi correct dans le cas d’une suite divergeant proprement vers +∞ ou −∞.
II.4.19. Prouver que si lim
n→+∞
a n = a (a ∈ R), alors
lim
n→+∞
(a n + b n ) = a + lim
n→+∞
b n ,
lim
n→+∞
(a n + b n ) = a + lim
n→+∞
b n .
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