Chapitre II. Suites de nombres réels
II.4.12. Pour une suite {a n } quelconque, montrer que
(a) s’il existe k ∈ N ∗ tel que l’inégalité a n A est vérifiée pour tout entier
n > k, alors lim
n→+∞
a n A,
(b) si pour tout k ∈ N ∗ , il existe n k > k tel que a n k A, alors lim
n→+∞
a n A,
(c) s’il existe k ∈ N ∗ tel que l’inégalité a n a est vérifiée pour tout n > k, alors
lim
n→+∞
a n a,
(d) si pour tout k ∈ N ∗ , il existe n k > k tel que a n k a, alors lim
n→+∞
a n a.
II.4.13. On suppose que les limites inférieure et supérieure de la suite {a n } sont
finies. Prouver que
(a) L = lim
n→+∞
a n si et seulement si
pour tout ε > 0, il existe k ∈ N
∗ tel que a n < L + ε si n > k
(i)
et
pour tout ε > 0 et k ∈ N
∗ , il existe n k > k tel que L − ε < a n k .
(ii)
(b) l = lim
n→+∞
a n si et seulement si
pour tout ε > 0, il existe k ∈ N
∗ tel que l − ε < a n si n > k
(i)
et
pour tout ε > 0 et k ∈ N
∗ , il existe n k > k tel que a n k < l + ε. (ii)
Formuler les propositions correspondantes pour des limites inférieure et supérieure
infinies.
II.4.14. On suppose qu’il existe un entier n 0 tel que a n b n pour tout n n 0 .
Prouver que
(a)
lim
n→+∞
a n lim
n→+∞
b n ,
(b)
lim
n→+∞
a n lim
n→+∞
b n .
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