Énoncés
II.4.8. Soit {a k } une suite produite par une énumération (bijective) des éléments de la matrice
3
√ n −
3
√
m
, n, m ∈ N ∗ . Montrer que tout réel est valeur
d’adhérence de cette suite.
II.4.9. Soit {a n } une suite bornée. Prouver que l’ensemble de ses valeurs d’adhérence est fermé et borné.
II.4.10. Déterminer lim
n→+∞
a n et lim
n→+∞
a n dans le cas où :
(a) a n =
2n 2
7
−
2n 2
7
,
(b) a n =
n − 1
n + 1
cos
nπ
3
,
(c) a n = (−1)
n n,
(d) a n = n
(−1)
n n ,
(e) a n = 1 + n sin
nπ
2
,
(f) a n =
1 +
1
n
n
(−1)
n
+ sin
nπ
4
,
(g) a n =
n
1 + 2 n(−1)
n ,
(h) a n =
2 cos
2nπ
3
n
,
(i) a n =
ln n − (1 + cos nπ)n
ln 2n
.
II.4.11. Déterminer la limite supérieure et la limite inférieure des suites suivantes :
(a) a n = nα − [nα], α ∈ Q,
(b) a n = nα − [nα], α /
∈ Q,
(c) a n = sin πnα, α ∈ Q,
(d) a n = sin πnα, α /
∈ Q.
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