Chapitre II. Suites de nombres réels
II.4.3. Soit {a pn }, {a qn }, . . ., {a sn } des sous-suites de {a n } telles que les suites
{p n }, {q n }, . . ., {s n } soient deux à deux disjointes et que leur union forme la suite
{n}. Montrer que si S, S p , S q , . . ., S s sont les ensembles des valeurs d’adhérence
respectives des suites {a n }, {a pn }, {a qn }, . . ., {a sn }, alors
S = S p ∪ S q ∪ · · · ∪ S s .
En conclure que si toutes les sous-suites {a pn }, {a qn }, . . ., {a sn } convergent vers a,
la suite {a n } converge alors aussi vers a.
II.4.4. Le théorème précédent (problème II.4.3) est-il vrai dans le cas d’une
infinité de sous-suites ?
II.4.5. Prouver que si toute sous-suite {a n k } d’une suite {a n } contient une soussuite {a n k i } convergente vers a, la suite {a n } converge alors aussi vers a.
II.4.6. Déterminer l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite {a n } dans le
cas où :
(a) a n =
n
4 (−1)
n + 2,
(b) a n =
1
2
n − 2 − 3
n − 1
3
n − 3 − 3
n − 1
3
,
(c) a n =
(1 − (−1) n ) 2 n + 1
2 n + 3
,
(d) a n =
(1 + cos nπ) ln 3n + ln n
ln 2n
,
(e) a n =
cos
nπ
3
n
,
(f) a n =
2n 2
7
−
2n 2
7
.
II.4.7. Déterminer l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite {a n } définie
par
(a) a n = nα − [nα], α ∈ Q,
(b) a n = nα − [nα], α /
∈ Q,
(c) a n = sin πnα, α ∈ Q,
(d) a n = sin πnα, α /
∈ Q.
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