Énoncés
II.3.25. Étant donné une suite {a n }, on considère la suite des moyennes arithmétiques {A n }, soit A n =
a 1 +a 2 +···+an
n
. Prouver que si lim
n→+∞
A n = A, on a alors
aussi
lim
n→+∞
1
ln n
n
k=1
a k
k
= A.
II.3.26. Prouver la réciproque du théorème de Toeplitz énoncé en II.3.1 :
Soit {c n,k : 1 k n, n 1} un tableau de nombres réels. Si pour toute suite
convergente {a n }, la suite transformée {b n } définie par
b n =
n
k=1
c n,k a k
converge vers la même limite, alors
(i) c n,k − −−−− →
n→+∞
0 pour tout k ∈ N ∗ ,
(ii)
n
k=1
c n,k − −−−− →
n→+∞
1,
(iii) il existe C > 0 tel que, pour tout entier n strictement positif,
n
k=1
|c n,k | C.
II.4. Valeurs d’adhérence, limite supérieure et limite
inférieure
II.4.1. Soit {a n } une suite dont les sous-suites {a 2k }, {a 2k+1 } et {a 3k }
convergent.
(a) Prouver la convergence de la suite {a n }.
(b) La convergence de deux de ces sous-suites implique-t-elle la convergence de
la suite {a n } ?
II.4.2. La convergence de toute sous-suite de {a n } de la forme {a s×n }, s ∈ N,
s > 1, implique-t-elle la convergence de la suite {a n } ?
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