Chapitre II. Suites de nombres réels
II.3.18. Pour une suite arithmétique {a n } strictement positive, déterminer
lim
n→+∞
n (a 1 · · · a n )
1
n
a 1 + · · · + a n
.
II.3.19. Soit {a n } une suite telle que la suite {b n } définie par b n = 2a n + a n−1
(n 2) converge vers b. Étudier la convergence de {a n }.
II.3.20. Soit {a n } une suite telle que lim
n→+∞
n x a n = a pour un certain réel x.
Prouver que
lim
n→+∞
n
x
(a 1 a 2 · · · a n )
1
n = ae
x .
II.3.21. Calculer
(a) lim
n→+∞
1 +
1
2 + · · · +
1
n−1 +
1
n
ln n
,
(b) lim
n→+∞
1 +
1
3 +
1
5 + · · · +
1
2n−1
ln n
.
II.3.22. On suppose que {a n } converge vers a. Prouver que
lim
n→+∞
1
ln n
a 1
1
+
a 2
2
+ · · · +
a n
n
= a.
II.3.23. Trouver
(a)
lim
n→+∞
n!
n n e −n
1
n
,
(b)
lim
n→+∞
(n!) 3
n 3n e −n
1
n
,
(c)
lim
n→+∞
(n!) 2
n 2n
1
n
,
(d)
lim
n→+∞
n 3n
(n!) 3
1
n
,
(e)
lim
n→+∞
k
√ n
n
√
n!
, k ∈ N
∗ .
II.3.24. Prouver que si lim
n→+∞
a n = a, alors
lim
n→+∞
1
ln n
n
k=1
a k
k
= a.
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