Énoncés
(d) lim
n→+∞
1
√
n
1
√
n
+
1
√
n + 1
+ · · · +
1
√ 2n
,
(e) lim
n→+∞
1 k + 2 k + · · · + n k
n k+1
, k ∈ N ∗ ,
(f) lim
n→+∞
1 + 1 × a + 2 × a 2 + · · · + n × a n
n × a n+1
, a > 1,
(g) lim
n→+∞
1
n k
1
k
+ 2
k
+ · · · + n
k
−
n
k + 1
, k ∈ N ∗ .
II.3.13. On suppose que lim
n→+∞
a n = a. Trouver
lim
n→+∞
1
√ n
a 1 +
a 2
√ 2
+ · · · +
a n
√ n
.
II.3.14. Prouver que si {a n } est une suite telle que
lim
n→+∞
(a n+1 − a n ) = a,
alors
lim
n→+∞
a n
n
= a.
II.3.15. Soit {a n } une suite telle que lim
n→+∞
a n = a. Déterminer
lim
n→+∞
a n
1
+
a n−1
2
+ · · · +
a 1
2 n−1
.
II.3.16. On suppose que lim
n→+∞
a n = a. Trouver
(a) lim
n→+∞
a n
1 × 2
+
a n−1
2 × 3
+ · · · +
a 1
n(n + 1)
,
(b) lim
n→+∞
a n
1
−
a n−1
2
+ · · · + (−1)
n−1 a 1
2 n−1
.
II.3.17. Soit k un entier strictement plus grand que 1. Calculer
lim
n→+∞
n
nk
n
.
59