Chapitre II. Suites de nombres réels
II.3.9. Soit {a n } et {b n } deux suites telles que
(i) b n > 0 pour tout n ∈ N ∗ et lim
n→+∞
(b 1 + b 2 + · · · + b n ) = +∞,
(ii) lim
n→+∞
an
bn = g.
Montrer que
lim
n→+∞
a 1 + a 2 + · · · + a n
b 1 + b 2 + · · · + b n
= g.
II.3.10. Soit {a n } et {b n } deux suites telles que
(i) b n > 0 pour tout n ∈ N ∗ et lim
n→+∞
(b 1 + b 2 + · · · + b n ) = +∞,
(ii) lim
n→+∞
a n = a.
Montrer que
lim
n→+∞
a 1 b 1 + a 2 b 2 + · · · + a n b n
b 1 + b 2 + · · · + b n
= a.
II.3.11. En utilisant le résultat du problème précédent, démontrer le théorème
de Stolz . Soit {x n } et {y n } deux suites vérifiant les conditions :
(i) {y n } est strictement croissante et tend vers +∞,
(ii)
lim
n→+∞
x n − x n−1
y n − y n−1
= g.
On a alors,
lim
n→+∞
x n
y n
= g.
II.3.12. Calculer
(a) lim
n→+∞
1
√ n
1 +
1
√ 2
+ · · · +
1
√
n
,
(b) lim
n→+∞
n
a n+1
a +
a 2
2
+ · · · +
a n
n
, a > 1,
(c) lim
n→+∞
1
n k+1
k! +
(k + 1)!
1!
+ · · · +
(k + n)!
n!
, k ∈ N ∗ ,
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