Énoncés
II.3.2. Montrer que si lim
n→+∞
a n = a, alors
lim
n→+∞
a 1 + a 2 + · · · + a n
n
= a.
II.3.3.
(a) Prouver que l’on peut omettre l’hypothèse (iii) du théorème de Toeplitz
(problème II.3.1) si tous les c n,k sont positifs.
(b) Soit {b n } la suite transformée définie dans le théorème de Toeplitz avec
c n,k > 0 pour 1 k n, n 1. Prouver que si lim
n→+∞
a n = +∞, alors
lim
n→+∞
b n = +∞.
II.3.4. Prouver que si lim
n→+∞
a n = +∞, alors
lim
n→+∞
a 1 + a 2 + · · · + a n
n
= +∞.
II.3.5. Prouver que si lim
n→+∞
a n = a, alors
lim
n→+∞
na 1 + (n − 1)a 2 + · · · + 1 × a n
n 2
=
a
2
.
II.3.6. Montrer que si la suite strictement positive {a n } converge vers a, alors
lim
n→+∞
n
√ a 1 · · · a n = a.
II.3.7. Pour une suite {a n } strictement positive, montrer que si lim
n→+∞
a n+1
an = a,
alors lim
n→+∞
n
√ a n = a.
II.3.8. Soit {a n } et {b n } deux suites telles que lim
n→+∞
a n = a et lim
n→+∞
b n = b.
Montrer que
lim
n→+∞
a 1 b n + a 2 b n−1 + · · · + a n b 1
n
= ab.
57