Chapitre II. Suites de nombres réels
II.2.57. Soit {a n } la suite définie comme suit :
a 1 = a, a 2 = b, a n+1 = pa n−1 + (1 − p)a n , n = 2, 3 . . .
Déterminer pour quelles valeurs de a, b et p la suite converge.
II.2.58. Soit {a n } et {b n } les suites définies par
a 1 = 3, b 1 = 2, a n+1 = a n + 2b n , et b n+1 = a n + b n .
On pose de plus
c n =
a n
b n
, n ∈ N
∗ .
(a) Prouver que
c n+1 −
√ 2
<
1
2
c n −
√ 2
, n ∈ N ∗ .
(b) Calculer lim
n→+∞
c n .
II.3. La transformation de Toeplitz, le théorème
de Stolz et leurs applications
II.3.1. Démontrer le théorème de Toeplitz de transformation régulière (3) de
suites en suites :
Soit {c n,k : 1 k n, n 1} un tableau de nombres réels vérifiant :
(i) c n,k − −−−− →
n→+∞
0 pour tout k ∈ N ∗ ,
(ii)
n
k=1
c n,k − −−−− →
n→+∞
1,
(iii) il existe C > 0 tel que, pour tout entier n strictement positif,
n
k=1
|c n,k | C.
Pour toute suite convergente {a n }, la suite transformée {b n } définie par b n =
n
k=1
c n,k a k (n 1) est alors aussi convergente et lim
n→+∞
b n = lim
n→+∞
a n .
(3) Une transformation de suite est régulière si elle transforme toute suite convergente en une
suite convergente de même limite. (N.d.T.)
56