Énoncés
(d) a n =
1
1 × 2
−
1
2 × 3
+ · · · + (−1)
n−1
1
n(n + 1)
,
(e) a n = α 1 q
1
+ α 2 q
2
+ · · · + α n q
n pour |q| < 1 et |α k | M (k ∈ N ∗ ),
(f) a n =
1
2 2 +
2
3 2 + · · · +
n
(n + 1)
2 .
II.2.51. On suppose que la suite {a n } vérifie la condition
|a n+1 − a n+2 | < λ |a n − a n+1 |
avec λ ∈ ]0 , 1[. Prouver que {a n } converge.
II.2.52. Étant donné une suite {a n } d’entiers strictement positifs, on définit
S n =
1
a 1
+
1
a 2
+ · · · +
1
a n
et
σ n =
1 +
1
a 1
1 +
1
a 2
· · ·
1 +
1
a n
.
Prouver que si {S n } converge, alors {ln σ n } converge aussi.
II.2.53. Prouver que la suite {R n } des réduites d’un nombre irrationnel x (définies au problème I.1.20) est une suite de Cauchy.
II.2.54. La suite {a n } étant une suite arithmétique dont les termes sont non
nuls, calculer
lim
n→+∞
1
a 1 a 2
+
1
a 2 a 3
+ · · · +
1
a n a n+1
.
II.2.55. La suite {a n } étant une suite arithmétique dont les termes sont strictement positifs, calculer
lim
n→+∞
1
√ n
1
√
a 1 +
√ a 2
+
1
√ a 2 +
√
a 3
+ · · · +
1
√ a n +
√ a n+1
.
II.2.56. Trouver
(a)
lim
n→+∞
n
n
√
e − 1
,
(b)
lim
n→+∞
e
1
n + e
2
n + · · · + e
n
n
n
.
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