Chapitre II. Suites de nombres réels
II.2.26. On définit les suites {a n } et {b n } par
a 1 = a,
b 1 = b,
a n+1 =
a n + b n
2
,
b n+1 =
a n+1 + b n
2
.
Montrer que lim
n→+∞
a n = lim
n→+∞
b n .
II.2.27. On se donne a ∈ {1, 2, . . . , 9}. Calculer
lim
n→+∞
a + aa + · · · +
n chiffres
aa . . . a
10 n
.
II.2.28. Calculer
lim
n→+∞
n
√
n − 1
n .
II.2.29. On suppose que la suite {a n } converge vers 0. Trouver lim
n→+∞
a n
n .
II.2.30. Étant donné des réels strictement positifs p 1 , p 2 , . . . , p k et a 1 , a 2 , . . . , a k ,
trouver
lim
n→+∞
p 1 a
n+1
1
+ p 2 a
n+1
2
+ · · · + p k a
n+1
k
p 1 a n
1 + p 2 a n
2 + · · · + p k a n
k
.
II.2.31. On suppose que lim
n→+∞
a n+1
an
= q. Prouver que
(a) si q < 1, alors lim
n→+∞
a n = 0,
(b) si q > 1, alors lim
n→+∞
|a n | = +∞.
II.2.32. On suppose que lim
n→+∞
n
|a n | = q. Prouver que
(a) si q < 1, alors lim
n→+∞
a n = 0,
(b) si q > 1, alors lim
n→+∞
|a n | = +∞.
II.2.33. Soit α ∈ R et x ∈ ]0 , 1[, calculer
lim
n→+∞
n
α x
n .
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