Énoncés
II.2.20. Étant donné a et b tels que a b > 0, on définit la suite {a n } en posant
a 1 = a + b, a n = a 1 −
ab
a n−1
, n 2.
Déterminer le n-ième terme de la suite et calculer lim
n→+∞
a n .
II.2.21. On définit la suite {a n } par
a 1 = 0, a 2 = 1, et a n+1 − 2a n + a n−1 = 2 pour n 2.
Déterminer son n-ième terme et calculer lim
n→+∞
a n .
II.2.22. Pour a > 0 et b > 0, on considère la suite {a n } définie par
a 1 =
ab
√
a 2 + b 2
et
a n =
aa n−1
a 2 + a 2
n−1
, n 2.
Déterminer son n-ième terme et calculer lim
n→+∞
a n .
II.2.23. Soit {a n } la suite récurrente définie comme suit :
a 1 = 0, a n =
a n−1 + 3
4
, n 2.
Expliciter le n-ième terme de la suite et calculer lim
n→+∞
a n .
II.2.24. Étudier la convergence de la suite définie par
a 1 = a, a n = 1 + ba n−1 , n 2.
II.2.25. La suite de Fibonacci {a n } est définie comme suit :
a 1 = a 2 = 1, a n+2 = a n+1 + a n , n 1.
Montrer que (2)
a n =
α n − β n
α − β
,
où α et β sont les racines de x 2 = x + 1. Calculer lim
n→+∞
n
√ a n .
(2) Formule de Binet. (N.d.T.).
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