Énoncés
II.2.3. Pour α ∈ ]0 , 1[, calculer lim
n→+∞
((n + 1)
α
− n α ).
II.2.4. Pour α ∈ Q, calculer lim
n→+∞
sin(n!απ).
II.2.5. Prouver que la limite lim
n→+∞
sin n n’existe pas.
II.2.6. Prouver que, pour tout α irrationnel, la limite lim
n→+∞
sin nαπ n’existe
pas.
II.2.7. Pour a ∈ R, calculer
lim
n→+∞
1
n
a +
1
n
2
+
a +
2
n
2
+ · · · +
a +
n − 1
n
2
.
II.2.8. On suppose que a n = 1 pour tout n et lim
n→+∞
a n = 1. L’entier strictement
positif k étant donné, calculer
lim
n→+∞
a n + a 2
n + · · · + a k
n − k
a n − 1
.
II.2.9. Trouver
lim
n→+∞
1
1 × 2 × 3
+
1
2 × 3 × 4
+ · · · +
1
n(n + 1)(n + 2)
.
II.2.10. Calculer
lim
n→+∞
n
k=2
k 3 − 1
k 3 + 1
.
II.2.11. Déterminer
lim
n→+∞
n
i=1
i
j=1
j
n 3 .
II.2.12. Calculer
lim
n→+∞
1 −
2
2 × 3
1 −
2
3 × 4
· · ·
1 −
2
(n + 1)(n + 2)
.
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