Chapitre II. Suites de nombres réels
II.1.42. Soit x > 0. On pose a n =
2 n
√ x pour n ∈ N ∗ . Montrer que la suite {a n }
est bornée. Montrer aussi qu’elle est strictement croissante si x < 1 et strictement
décroissante si x > 1. Calculer lim
n→+∞
a n .
On pose de plus
c n = 2
n
(a n − 1) et d n = 2
n
1 −
1
a n
pour n ∈ N
∗ .
Montrer que {c n } est décroissante, {d n } est croissante et que ces deux suites ont
la même limite.
II.2. Limites. Propriétés des suites convergentes
II.2.1. Calculer :
(a) lim
n→+∞
n
1 2 + 2 2 + · · · + n 2 ,
(b) lim
n→+∞
n + sin n 2
n + cos n
,
(c) lim
n→+∞
1 − 2 + 3 − 4 + · · · + (−2n)
√
n 2 + 1
,
(d) lim
n→+∞
√
2 −
3
√ 2
√ 2 −
5
√
2
· · ·
√ 2 −
2n+1 √
2
,
(e) lim
n→+∞
n
2
√
n
,
(f) lim
n→+∞
n!
2 n 2 ,
(g) lim
n→+∞
1
√
n
1
√
1 +
√ 3
+
1
√ 3 +
√
5
+ · · · +
1
√ 2n − 1 +
√ 2n + 1
,
(h) lim
n→+∞
1
n 2 + 1
+
2
n 2 + 2
+ · · · +
n
n 2 + n
,
(i) lim
n→+∞
n
n 3 + 1
+
2n
n 3 + 2
+ · · · +
n · n
n 3 + n
.
II.2.2. Soit s > 0 et p > 0. Montrer que
lim
n→+∞
n s
(1 + p) n = 0.
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