Énoncés
II.1.38. Soit {a n } et {b n } les suites définies par
a n =
1 +
1
n
n
,
b n =
1 +
1
n
n+1
pour n ∈ N
∗ .
En utilisant les inégalités entre moyennes arithmétique, géométrique et harmonique (voir I.2.3), prouver que
(a) a n < b n pour n ∈ N ∗ ,
(b) la suite {a n } est strictement croissante,
(c) la suite {b n } est strictement décroissante.
Prouver aussi que {a n } et {b n } ont la même limite, que l’on définit comme étant
le nombre (d’Euler) e.
II.1.39. On pose
a n =
1 +
x
n
n
pour n ∈ N
∗ .
(a) Prouver que la suite {a n } est bornée et strictement croissante si x > 0.
(b) Soit x un réel quelconque. Prouver que la suite {a n } est bornée et strictement
croissante pour n > −x.
On définit le nombre e x comme étant la limite de cette suite.
II.1.40. On suppose que x > 0, l ∈ N ∗ et l > x. Prouver que la suite {b n }, où
b n =
1 +
x
n
l+n
pour n ∈ N
∗ ,
est strictement décroissante.
II.1.41. Établir la monotonie des suites {a n } et {b n } définies par
a n = 1 +
1
2
+ . . . +
1
n − 1
− ln n pour n ∈ N
∗ ,
b n = 1 +
1
2
+ . . . +
1
n − 1
+
1
n
− ln n pour n ∈ N
∗ .
Prouver que ces deux suites tendent vers la même limite γ, appelée constante
d’Euler (1) .
Indication : appliquer l’inégalité
1 +
1
n
n < e <
1 +
1
n
n+1 qui découle
de II.1.38.
(1) Ou encore constante d’Euler-Mascheroni. (N.d.T.)
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