Chapitre II. Suites de nombres réels
II.1.31. La suite récurrente {a n } est définie par
a 1 = 1, a 2 = 2, a n+1 =
√ a n−1 +
√ a n pour n 2.
Prouver que la suite est bornée et strictement croissante. Trouver sa limite.
II.1.32. La suite récurrente {a n } est définie par
a 1 = 9, a 2 = 6, a n+1 =
√ a n−1 +
√ a n pour n 2.
Prouver que la suite est bornée et strictement décroissante. Trouver sa limite.
II.1.33. On définit les suites {a n } et {b n } comme suit :
0 < b 1 < a 1 , a n+1 =
a n + b n
2
, b n+1 =
a n b n pour n ∈ N
∗ .
Démontrer que {a n } et {b n } convergent vers la même limite. (Cette limite est
appelée la moyenne arithmético-géométrique de a 1 et b 1 .)
II.1.34. Prouver que les suites {a n } et {b n } définies par
0 < b 1 < a 1 , a n+1 =
a 2
n + b 2
n
a n + b n
, b n+1 =
a n + b n
2
pour n ∈ N
∗
sont toutes deux monotones et convergent vers la même limite.
II.1.35. On considère les suites récurrentes {a n } et {b n } définies par
0 < b 1 < a 1 , a n+1 =
a n + b n
2
, b n+1 =
2a n b n
a n + b n
pour n ∈ N
∗ .
Prouver la monotonie de ces deux suites et montrer qu’elles convergent vers la
moyenne géométrique de a 1 et b 1 .
II.1.36. Prouver la convergence et trouver la limite de la suite {a n } définie par
a n =
n + 1
2 n+1
2
1
+
2 2
2
+ . . . +
2 n
n
pour n ∈ N
∗ .
II.1.37. La suite {a n } est bornée et vérifie
a n+2
1
3
a n+1 +
2
3
a n pour n 1.
Prouver la convergence de la suite {a n }.
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