Chapitre II. Suites de nombres réels
II.1.5. Prouver la convergence des suites :
(a) a n = −2
√
n +
1
√ 1
+
1
√ 2
+ . . . +
1
√
n
;
(b) b n = −2
√
n + 1 +
1
√
1
+
1
√ 2
+ . . . +
1
√
n
.
Indication : établir d’abord les inégalités
2
√
n + 1 − 1
<
1
√ 1
+
1
√ 2
+ . . . +
1
√
n
< 2
√
n, n ∈ N
∗ .
II.1.6. Prouver que la suite {a n } définie par
a 1 =
3
2
, a n =
3a n−1 − 2 pour n 2
converge et trouver sa limite.
II.1.7. Pour c > 2, on définit la suite {a n } comme suit :
a 1 = c
2 , a n+1 = (a n − c)
2 , n 1.
Montrer que la suite {a n } est strictement croissante.
II.1.8. On suppose que la suite {a n } vérifie les conditions
0 < a n < 1, a n (1 − a n+1 ) >
1
4
pour n ∈ N.
Établir la convergence de la suite et trouver sa limite.
II.1.9. Établir la convergence et trouver la limite de la suite définie par
a 1 = 0, a n+1 =
√ 6 + a n pour n 1.
II.1.10. Montrer que la suite définie par
a 1 = 0, a 2 =
1
2
, a n+1 =
1
3
1 + a n + a
3
n−1
pour n > 1
converge et déterminer sa limite.
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