II
SUITES DE NOMBRES RÉELS
Énoncés
II.1. Suites monotones
II.1.1. Prouver que
(a) si la suite {a n } est croissante, alors lim
n→+∞
a n = sup {a n : n ∈ N} ;
(b) si la suite {a n } est décroissante, alors lim
n→+∞
a n = inf {a n : n ∈ N}.
II.1.2. Soit a 1 , a 2 , . . . , a p des réels strictement positifs. On considère les suites
s n =
a n
1 + a n
2 + . . . + a n
p
p
et x n =
n
√ s n , n ∈ N
∗ .
Prouver que la suite {x n } est croissante.
Indication : établir d’abord la monotonie de la suite
sn
s n−1
, n 2.
II.1.3. Prouver que la suite {a n } définie par a n =
n
2 n (n > 1) est strictement
décroissante et trouver sa limite.
II.1.4. Soit {a n } une suite bornée vérifiant la condition a n+1 a n −
1
2 n , n ∈ N ∗ .
Montrer que la suite {a n } est convergente.
Indication : considérer la suite {a n −
1
2 n−1 }.